Bài 4 trang 154 SGK Đại số 10

Câu hỏi: Chứng minh các đẳng thức

Câu a​

\(\dfrac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)}=\dfrac{\cot a \cot b+1}{\cot a \cot b-1}\)
Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức:
+) \( \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\)
+) \( \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức \(\cos (a+b)\) với VT sau đó chia cả tử và mẫu cho \(\sin a \sin b\) ta được:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{{\cos \left({a - b} \right)}}{{\cos \left({a + b} \right)}} = \dfrac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}\\
= \dfrac{{\dfrac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\dfrac{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\
= \dfrac{{\dfrac{{\cos a\cos b}}{{\sin a\sin b}} + \dfrac{{\sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\dfrac{{\cos a\cos b}}{{\sin a\sin b}} - \dfrac{{\sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\
= \dfrac{{\dfrac{{\cos a}}{{\sin a}}.\dfrac{{\cos b}}{{\sin b}} - 1}}{{\dfrac{{\cos a}}{{\sin a}}.\dfrac{{\cos b}}{{\sin b}} + 1}}\\
= \dfrac{{\cot a\cot b + 1}}{{\cot a\cot b - 1}} 
\end{array}\)
Cách khác:
Có thể biến đổi ngược lại từ VP thành VT như sau:
\(\begin{array}{l}
\frac{{\cot a\cot b + 1}}{{\cot a\cot b - 1}}\\
= \dfrac{{\frac{{\cos a}}{{\sin a}}.\frac{{\cos b}}{{\sin b}} + 1}}{{\frac{{\cos a}}{{\sin a}}.\frac{{\cos b}}{{\sin b}} - 1}}\\
= \dfrac{{\frac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\frac{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\
= \dfrac{{\frac{{\cos \left({a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}}}{{\frac{{\cos \left({a + b} \right)}}{{\sin a\sin b}}}}\\
= \frac{{\cos \left({a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}:\frac{{\cos \left({a + b} \right)}}{{\sin a\sin b}}\\
= \frac{{\cos \left({a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}.\frac{{\sin a\sin b}}{{\cos \left({a + b} \right)}}\\
= \frac{{\cos \left({a - b} \right)}}{{\cos \left({a + b} \right)}}
\end{array}\)

Câu b​

\(\sin(a + b)\sin(a - b) = \sin^2a – \sin^2b \)\(= \cos^2b – \cos^2a\)
Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức:
+) \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .\)
+) \(\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta .\)
+) \( \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\)
+) \( \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .\)
Lời giải chi tiết:
\(VT = (\sin a\cos b + \cos a\sin b).\)\((\sin a\cos b - \cos a\sin b) \) \(= (\sin a\cos b)^2– (\cos a\sin b)^2 \) \( = {\sin ^2}a{\cos ^2}b - {\cos ^2}a{\sin ^2}b\)\(= \sin^2 a(1 – \sin^2 b) – (1 – \sin^2 a)\sin^2 b\) \( = {\sin ^2}a - {\sin ^2}a{\sin ^2}b - {\sin ^2}b + {\sin ^2}a{\sin ^2}b\) \(= \sin^2a – \sin^2b (đpcm) \)
Lại có:
\({\sin ^2}a{\cos ^2}b - {\cos ^2}a{\sin ^2}b\)
\(= ( 1– \cos^2a)\cos^2b  – \cos^2 a(1 – \cos^2 b) \) \(= {\cos ^2}b - {\cos ^2}b{\cos ^2}a - {\cos ^2}a + {\cos ^2}a{\cos ^2}b\)
\(=  \cos^2 b – \cos^2 a (đpcm). \)
Hoặc từ \( VT = \sin^2a – \sin^2b\) ta có:
\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}a - {\sin ^2}b\\
= \left({1 - {{\cos }^2}a} \right) - \left({1 - {{\cos }^2}b} \right)\\
= 1 - {\cos ^2}a - 1 + {\cos ^2}b\\
= {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\\
\Rightarrow VT = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\left({dpcm} \right)
\end{array}\)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
\sin \left({a + b} \right)\sin \left({a - b} \right)\\
= - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left({a + b + a - b} \right) - \cos \left({a + b - a + b} \right)} \right]\\
= - \dfrac{1}{2}\left({\cos 2a - \cos 2b} \right)\\
= - \dfrac{1}{2}\left[ {\left({1 - 2{{\sin }^2}a} \right) - \left({1 - 2{{\sin }^2}b} \right)} \right]\\
= - \dfrac{1}{2}\left({ - 2{{\sin }^2}a + 2{{\sin }^2}b} \right)\\
= {\sin ^2}a - {\sin ^2}b\left({dpcm} \right)
\end{array}\)
Mà
\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}a - {\sin ^2}b\\
= \left({1 - {{\cos }^2}a} \right) - \left({1 - {{\cos }^2}b} \right)\\
= - {\cos ^2}a + {\cos ^2}b
\end{array}\)
suy ra đpcm.

Câu c​

\(\cos(a + b)\cos(a - b) = \cos^2a - \sin^2b\)\(= \cos^2b – \sin^2a\)
Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức:
+) \( \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\)
+) \( \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .\)
Lời giải chi tiết:
\(VT = (\cos a\cos b - \sin a\sin b).(\cos a\cos b + \sin a\sin b) \) \(= (\cos a\cos b)^2 – (\sin a\sin b)^2\)
\(\begin{array}{l}
= {\cos ^2}a{\cos ^2}b - {\sin ^2}a{\sin ^2}b\\
= {\cos ^2}a\left({1 - {{\sin }^2}b} \right) - \left({1 - {{\cos }^2}a} \right){\sin ^2}b\\
= {\cos ^2}a - {\cos ^2}a{\sin ^2}b - {\sin ^2}b + {\cos ^2a}{\sin ^2}b\\
= {\cos ^2}a - {\sin ^2}b\left({dpcm} \right)\\
= \left({1 - {{\sin }^2}a} \right) - \left({1 - {{\cos }^2}b} \right)\\
= - {\sin ^2}a + {\cos ^2}b\\
= {\cos ^2}b - {\sin ^2}a
\end{array}\)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
\cos \left({a + b} \right)\cos \left({a - b} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left({a + b + a - b} \right) + \cos \left({a + b - a + b} \right)} \right]\\
= \dfrac{1}{2}\left({\cos 2a + \cos 2b} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left({2{{\cos }^2}a - 1 + 1 - 2{{\sin }^2}b} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left({2{{\cos }^2}a - 2{{\sin }^2}b} \right)\\
= {\cos ^2}a - {\sin ^2}b\\
= \left({1 - {{\sin }^2}a} \right) - \left({1 - {{\cos }^2}b} \right)\\
= {\cos ^2}b - {\sin ^2}a
\end{array}\)