Google
Câu hỏi: Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(y (cm)\). Điểm \(E\) thuộc cạnh \(AB\). Điểm \(G\) thuộc tia \(AD\) sao cho \(AG = AD +\displaystyle {3 \over 2}EB.\) Dựng hình chữ nhật \(GAEF.\)
Đặt \(EB = 2x (cm)\). Tính \(x\) và \(y\) để diện tích của hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông và ngũ giác \(ABCFG\) có chu vi bằng \(100 + 4\sqrt {13}(cm) \)
Đặt \(EB = 2x (cm)\). Tính \(x\) và \(y\) để diện tích của hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông và ngũ giác \(ABCFG\) có chu vi bằng \(100 + 4\sqrt {13}(cm) \)
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: \(S=a.b\)
Trong đó \(S\) là diện tích, \(a\) là chiều dài, \(b\) là chiều rộng của hình chữ nhật.
- Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: \(S={a^2}\)
- Định lý Pytago: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết ta có: \(EB = 2x (cm)\)
Điều kiện: \(y > 2x > 0\)
\(AE = AB – EB = y – 2x (cm)\)
\(AG = AD + DG\)\( = y +\displaystyle {3 \over 2}EB \\ = y + \displaystyle{3 \over 2}.2x = y + 3x(cm)\)
Diện tích hình chữ nhật \(GAEF\) bằng diện tích hình vuông \(ABCD\) nên ta có phương trình:
\(\left( {y - 2x} \right)\left( {y + 3x} \right) = {y^2}\)
Mặt khác theo định lí Pitago ta có:
\(FC = \sqrt {E{B^2} + D{G^2}} \\ = \sqrt {4{x^2} + 9{x^2}} = x\sqrt {13} (cm)\)
Chu vi của ngũ giác \(ABCFG\) bằng:
\(\eqalign{
& AB + BC + CF + FG + GA \cr
& = y + y + x\sqrt {13} + y - 2x + 3x + y \cr
& = x\left( {1 + \sqrt {13} } \right) + 4y \cr} \)
Chu vi ngũ giác \(ABCFG\) bằng \(100 + 4\sqrt {13} (cm)\) nên ta có phương trình:
\(x\left( {1 + \sqrt {13} } \right) + 4y = 100 + 4\sqrt {13} \)
Ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{c}(y-2 x)(y+3 x)=y^{2} \\ x(1+\sqrt{13})+4 y=100+4 \sqrt{13}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}y^{2}+3 x y-2 x y-6 x^{2}=y^{2} \\ (1+\sqrt{13}) x+4 y=100+4 \sqrt{13}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x y-6 x^{2}=0 \\ (1+\sqrt{13}) x+4 y=100+4 \sqrt{13}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x(y-6 x)=0 \\ (1+\sqrt{13}) x+4 y=100+4 \sqrt{13}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}y-6 x=0 \\ (1+\sqrt{13}) x+4 y=100+4 \sqrt{13}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=6 x \\ (1+\sqrt{13}) x+4.6 x=100+4 \sqrt{13}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=6 x \\ (25+\sqrt{13}) x=100+4 \sqrt{13}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=6 x \\ x=\dfrac{4(25+\sqrt{13})}{25+\sqrt{13}}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}y=6 x \\ x=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=24 \\ x=4\end{array}\right.\right.$
Giá trị \(x = 4\) và \(y = 24\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy \(x = 4 (cm); y = 24 (cm).\)
Sử dụng:
- Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: \(S=a.b\)
Trong đó \(S\) là diện tích, \(a\) là chiều dài, \(b\) là chiều rộng của hình chữ nhật.
- Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: \(S={a^2}\)
- Định lý Pytago: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết ta có: \(EB = 2x (cm)\)
Điều kiện: \(y > 2x > 0\)
\(AE = AB – EB = y – 2x (cm)\)
\(AG = AD + DG\)\( = y +\displaystyle {3 \over 2}EB \\ = y + \displaystyle{3 \over 2}.2x = y + 3x(cm)\)
Diện tích hình chữ nhật \(GAEF\) bằng diện tích hình vuông \(ABCD\) nên ta có phương trình:
\(\left( {y - 2x} \right)\left( {y + 3x} \right) = {y^2}\)
Mặt khác theo định lí Pitago ta có:
\(FC = \sqrt {E{B^2} + D{G^2}} \\ = \sqrt {4{x^2} + 9{x^2}} = x\sqrt {13} (cm)\)
Chu vi của ngũ giác \(ABCFG\) bằng:
\(\eqalign{
& AB + BC + CF + FG + GA \cr
& = y + y + x\sqrt {13} + y - 2x + 3x + y \cr
& = x\left( {1 + \sqrt {13} } \right) + 4y \cr} \)
Chu vi ngũ giác \(ABCFG\) bằng \(100 + 4\sqrt {13} (cm)\) nên ta có phương trình:
\(x\left( {1 + \sqrt {13} } \right) + 4y = 100 + 4\sqrt {13} \)
Ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{c}(y-2 x)(y+3 x)=y^{2} \\ x(1+\sqrt{13})+4 y=100+4 \sqrt{13}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}y^{2}+3 x y-2 x y-6 x^{2}=y^{2} \\ (1+\sqrt{13}) x+4 y=100+4 \sqrt{13}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x y-6 x^{2}=0 \\ (1+\sqrt{13}) x+4 y=100+4 \sqrt{13}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x(y-6 x)=0 \\ (1+\sqrt{13}) x+4 y=100+4 \sqrt{13}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}y-6 x=0 \\ (1+\sqrt{13}) x+4 y=100+4 \sqrt{13}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=6 x \\ (1+\sqrt{13}) x+4.6 x=100+4 \sqrt{13}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=6 x \\ (25+\sqrt{13}) x=100+4 \sqrt{13}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=6 x \\ x=\dfrac{4(25+\sqrt{13})}{25+\sqrt{13}}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}y=6 x \\ x=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=24 \\ x=4\end{array}\right.\right.$
Giá trị \(x = 4\) và \(y = 24\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy \(x = 4 (cm); y = 24 (cm).\)