Google
Câu hỏi: Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau \(3\) giờ có thêm năm cần cẩu bé (công suất bé hơn) cùng làm việc. Cả bảy cần cẩu làm việc \(3\) giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc, biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong \(4\) giờ xong việc.
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Xem toàn bộ công việc là \(1\) (công việc)
- Thực hiện một công việc trong \(a\) ngày thì xong việc.
Suy ra trong một ngày thực hiện được \(\dfrac {1}{a}\) công việc
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước \(1\): Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước \(2\): Giải hệ phương trình nói trên (sử dụng phương pháp đặt ẩn số phụ).
Bước \(3\): Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi thời gian một cần cẩu lớn làm một mình xong công việc là \(x\) (giờ), thời gian một cần cẩu bé làm một mình xong công việc là \(y\) (giờ)
Điều kiện: \(x>0;y>0\)
Trong \(1\) giờ một cần cẩu lớn làm được \(\displaystyle{1 \over x}\) (công việc)
Trong \(1\) giờ một cần cẩu bé làm được \(\displaystyle{1 \over y}\) (công việc)
Hai cần cẩu lớn làm trong \(6\) giờ và \(5\) cần cẩu bé làm trong \(3\) giờ thì xong công việc nên ta có:
\(\displaystyle 6.2.{{1} \over x} + 5.3.{{1} \over y} = 1\)\(\Leftrightarrow \displaystyle{{12} \over x} + {{15} \over y} = 1\)
Nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong \(4\) giờ xong việc. Do đó trong \(1\) giờ cả \(7\) cần cẩu làm được \(1:4 = \displaystyle{1 \over 4}\) công việc, khi đó ta có phương trình:
\(\displaystyle{2 \over x} + {5 \over y} = {1 \over 4}\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{12} \over x} + {{15} \over y} = 1} \cr
\displaystyle{{2 \over x} + {5 \over y} = {1 \over 4}} \cr} } \right.\)
Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) \((a>0;b>0)\)
Khi đó hệ phương trình trên trở thành:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{12a + 15b = 1} \cr
{2a + 5b = \displaystyle{1 \over 4}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12a + 15b = 1} \cr
{12a + 30b =\displaystyle {3 \over 2}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{15b = \displaystyle{1 \over 2}} \cr
{2a + 5b = \displaystyle{1 \over 4}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{1 \over {30}}} \cr
{2a + \displaystyle 5.{1 \over {30}} = {1 \over 4}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{1 \over {30}}} \cr
{a = \displaystyle{1 \over {24}}} \cr} } \right. \text{(thỏa mãn)} \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over {24}}} \cr
\displaystyle{{1 \over y} = {1 \over {30}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 24} \cr
{y = 30} \cr} } \right.\text{(thỏa mãn)} \)
Vậy một cần cẩu lớn làm một mình trong \(24\) giờ thì xong công việc, một cần cẩu nhỏ làm một mình trong \(30\) giờ thì xong công việc.
Sử dụng:
- Xem toàn bộ công việc là \(1\) (công việc)
- Thực hiện một công việc trong \(a\) ngày thì xong việc.
Suy ra trong một ngày thực hiện được \(\dfrac {1}{a}\) công việc
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước \(1\): Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước \(2\): Giải hệ phương trình nói trên (sử dụng phương pháp đặt ẩn số phụ).
Bước \(3\): Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi thời gian một cần cẩu lớn làm một mình xong công việc là \(x\) (giờ), thời gian một cần cẩu bé làm một mình xong công việc là \(y\) (giờ)
Điều kiện: \(x>0;y>0\)
Trong \(1\) giờ một cần cẩu lớn làm được \(\displaystyle{1 \over x}\) (công việc)
Trong \(1\) giờ một cần cẩu bé làm được \(\displaystyle{1 \over y}\) (công việc)
Hai cần cẩu lớn làm trong \(6\) giờ và \(5\) cần cẩu bé làm trong \(3\) giờ thì xong công việc nên ta có:
\(\displaystyle 6.2.{{1} \over x} + 5.3.{{1} \over y} = 1\)\(\Leftrightarrow \displaystyle{{12} \over x} + {{15} \over y} = 1\)
Nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong \(4\) giờ xong việc. Do đó trong \(1\) giờ cả \(7\) cần cẩu làm được \(1:4 = \displaystyle{1 \over 4}\) công việc, khi đó ta có phương trình:
\(\displaystyle{2 \over x} + {5 \over y} = {1 \over 4}\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{12} \over x} + {{15} \over y} = 1} \cr
\displaystyle{{2 \over x} + {5 \over y} = {1 \over 4}} \cr} } \right.\)
Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) \((a>0;b>0)\)
Khi đó hệ phương trình trên trở thành:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{12a + 15b = 1} \cr
{2a + 5b = \displaystyle{1 \over 4}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12a + 15b = 1} \cr
{12a + 30b =\displaystyle {3 \over 2}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{15b = \displaystyle{1 \over 2}} \cr
{2a + 5b = \displaystyle{1 \over 4}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{1 \over {30}}} \cr
{2a + \displaystyle 5.{1 \over {30}} = {1 \over 4}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{1 \over {30}}} \cr
{a = \displaystyle{1 \over {24}}} \cr} } \right. \text{(thỏa mãn)} \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over {24}}} \cr
\displaystyle{{1 \over y} = {1 \over {30}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 24} \cr
{y = 30} \cr} } \right.\text{(thỏa mãn)} \)
Vậy một cần cẩu lớn làm một mình trong \(24\) giờ thì xong công việc, một cần cẩu nhỏ làm một mình trong \(30\) giờ thì xong công việc.