Google
Câu hỏi: Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong \(12\) ngày xong việc. Nhưng hai đội chỉ cùng làm trong \(8\) ngày. Sau đó đội thứ nhất làm tiếp một mình trong \(7\) ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc.
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Xem toàn bộ công việc là \(1\) (công việc)
- Thực hiện một công việc trong \(a\) ngày \((a>0)\) thì xong việc.
Suy ra trong một ngày thực hiện được \(\dfrac {1}{a}\) công việc
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước \(1\): Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước \(2\): Giải hệ phương trình nói trên (sử dụng phương pháp đặt ẩn số phụ)
Bước \(3\): Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) (ngày), thời gian đội thứ hai làm một mình xong công việc là \(y\) (ngày)
Điều kiện: \(x > 12; y > 12\)
Trong \(1\) ngày đội thứ nhất làm được \(\displaystyle {1 \over x}\) (công việc)
Trong \(1\) ngày đội thứ hai làm được \(\displaystyle{1 \over y}\) (công việc)
Hai đội cùng làm thì trong \(12\) ngày xong việc, khi đó trong \(1\) ngày cả hai đội làm được \(\displaystyle{1 \over 12}\) (công việc)
Ta có phương trình: \(\displaystyle{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over {12}}\)
Hai đội cùng làm trong \(8\) ngày, sau đó đội thứ nhất làm tiếp một mình trong \(7\) ngày nữa thì xong công việc, ta có phương trình:
\(\displaystyle 8.{1 \over {12}} + {7 \over x} = 1 \Leftrightarrow \displaystyle{2 \over 3} + {7 \over x} = 1\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over {12}}} \cr
\displaystyle{{2 \over 3} + {7 \over x} = 1} \cr} } \right.\)
Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b(a>0;b>0)\) ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{1 \over {12}}} \cr
{\displaystyle{2 \over 3} + 7a = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{1 \over {12}}} \cr
{a =\displaystyle {1 \over {21}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\displaystyle{1 \over {21}} + b = {1 \over {12}}} \cr
{a = \displaystyle{1 \over {21}}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{1 \over {28}}} \cr
{a = \displaystyle{1 \over {21}}} \cr} } \right. \text{(thỏa mãn)} \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over {21}}} \cr
\displaystyle{{1 \over y} = {1 \over {28}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 21} \cr
{y = 28} \cr} } \right.\)
Giá trị \(x = 21; y = 28\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy đội thứ nhất làm một mình trong \(21\) ngày thì xong công việc, đội thứ hai làm một mình trong \(28\) ngày thì xong công việc.
Sử dụng:
- Xem toàn bộ công việc là \(1\) (công việc)
- Thực hiện một công việc trong \(a\) ngày \((a>0)\) thì xong việc.
Suy ra trong một ngày thực hiện được \(\dfrac {1}{a}\) công việc
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước \(1\): Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước \(2\): Giải hệ phương trình nói trên (sử dụng phương pháp đặt ẩn số phụ)
Bước \(3\): Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) (ngày), thời gian đội thứ hai làm một mình xong công việc là \(y\) (ngày)
Điều kiện: \(x > 12; y > 12\)
Trong \(1\) ngày đội thứ nhất làm được \(\displaystyle {1 \over x}\) (công việc)
Trong \(1\) ngày đội thứ hai làm được \(\displaystyle{1 \over y}\) (công việc)
Hai đội cùng làm thì trong \(12\) ngày xong việc, khi đó trong \(1\) ngày cả hai đội làm được \(\displaystyle{1 \over 12}\) (công việc)
Ta có phương trình: \(\displaystyle{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over {12}}\)
Hai đội cùng làm trong \(8\) ngày, sau đó đội thứ nhất làm tiếp một mình trong \(7\) ngày nữa thì xong công việc, ta có phương trình:
\(\displaystyle 8.{1 \over {12}} + {7 \over x} = 1 \Leftrightarrow \displaystyle{2 \over 3} + {7 \over x} = 1\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over {12}}} \cr
\displaystyle{{2 \over 3} + {7 \over x} = 1} \cr} } \right.\)
Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b(a>0;b>0)\) ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{1 \over {12}}} \cr
{\displaystyle{2 \over 3} + 7a = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{1 \over {12}}} \cr
{a =\displaystyle {1 \over {21}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\displaystyle{1 \over {21}} + b = {1 \over {12}}} \cr
{a = \displaystyle{1 \over {21}}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{1 \over {28}}} \cr
{a = \displaystyle{1 \over {21}}} \cr} } \right. \text{(thỏa mãn)} \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over {21}}} \cr
\displaystyle{{1 \over y} = {1 \over {28}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 21} \cr
{y = 28} \cr} } \right.\)
Giá trị \(x = 21; y = 28\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy đội thứ nhất làm một mình trong \(21\) ngày thì xong công việc, đội thứ hai làm một mình trong \(28\) ngày thì xong công việc.