Google
Câu hỏi: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) (h. 2.76), \(E\) là điểm trên cạnh \(CD\) với \(ED = 3EC\). Thiết diện tạo bởi mặt phẳng \((MNE)\) và tứ diện \(ABCD\) là:
(A) Tam giác \(MNE\);
(B) Tứ giác \(MNEF\) với \(F\) là điểm bất kì trên cạnh \(BD\);
(C) Hình bình hành \(MNEF\) với \(F\) là điểm trên cạnh \(BD\) mà \(EF // BC\);
(D) Hình thang \(MNEF\) với \(F\) là điểm trên cạnh \(BD\) mà \(EF // BC\).
(A) Tam giác \(MNE\);
(B) Tứ giác \(MNEF\) với \(F\) là điểm bất kì trên cạnh \(BD\);
(C) Hình bình hành \(MNEF\) với \(F\) là điểm trên cạnh \(BD\) mà \(EF // BC\);
(D) Hình thang \(MNEF\) với \(F\) là điểm trên cạnh \(BD\) mà \(EF // BC\).
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MN // BC\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BCD} \right) \supset BC\\\left({MNE} \right) \supset MN\\MN//BC\\E \in \left({MNE} \right) \cap \left({BCD} \right)\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow \) giao tuyến của hai mặt phẳng \((MNE)\) và \((BCD)\) là đường thẳng qua \(E\) và song song với \(BC\).
Đường thẳng này cắt \(BD\) tại \(F\). Do đó \(MN//EF//BC\).
Ta có \(MN = \frac{1}{2}BC\).
Áp dụng định lí Ta-let trong tam giác \(BCD\) ta có: \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{DC}} = \frac{3}{4} \) \(\Rightarrow EF = \frac{3}{4}BC \Rightarrow MN \ne EF\).
Vậy \(MNEF\) là hình thang.
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MN // BC\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BCD} \right) \supset BC\\\left({MNE} \right) \supset MN\\MN//BC\\E \in \left({MNE} \right) \cap \left({BCD} \right)\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow \) giao tuyến của hai mặt phẳng \((MNE)\) và \((BCD)\) là đường thẳng qua \(E\) và song song với \(BC\).
Đường thẳng này cắt \(BD\) tại \(F\). Do đó \(MN//EF//BC\).
Ta có \(MN = \frac{1}{2}BC\).
Áp dụng định lí Ta-let trong tam giác \(BCD\) ta có: \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{DC}} = \frac{3}{4} \) \(\Rightarrow EF = \frac{3}{4}BC \Rightarrow MN \ne EF\).
Vậy \(MNEF\) là hình thang.