Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đỉnh \(S\) có đáy là hình thang \(ABCD\) với \(AB\) là đáy lớn. Gọi \(M, N\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(SB, SC\)
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \((AMN)\)
c) Tìm thiết dện của hình chóp \(S. ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \((AMN)\)
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \((AMN)\)
c) Tìm thiết dện của hình chóp \(S. ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \((AMN)\)
Phương pháp giải
a) Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tìm điểm chung của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \((AMN)\) theo các bước:
- Tìm một mp chứa SD mà cắt được với (AMN).
- Tìm giao tuyến của mp vừa tìm với (AMN).
- Tìm giao điểm của giao tuyến đó với SD.
c) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (AMN) với tất cả các mặt của hình chóp.
Lời giải chi tiết
A) Trong \((ABCD)\) gọi \(E=AD\cap BC\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\E \in BC \subset \left({SBC} \right)\end{array} \right.\) \(\Rightarrow E \in \left( {SAD} \right) \cap \left({SBC} \right)\).
Mà \(S \in \left( {SAD} \right) \cap \left({SBC} \right)\) \(\Rightarrow SE = \left( {SAD} \right) \cap \left({SBC} \right)\).
b) + Ta có: \(SD \subset \left( {SAD} \right)\)
+ Tìm giao tuyến của SD với (AMN).
Trong \((SBE)\): gọi \(F=MN ∩ SE\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
F \in MN \subset \left({AMN} \right)\\
F \in SE \subset \left({SAD} \right)
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow F \in \left( {AMN} \right) \cap \left({SAD} \right)\)
Mà \(A \in \left( {AMN} \right) \cap \left({SAD} \right)\) nên \(AF = \left( {AMN} \right) \cap \left({SAD} \right)\)
+ Tìm giao điểm của AF với SD.
Trong \((SAE)\): gọi \(P= AF ∩ SD\)
\(\Rightarrow P \in AF \subset \left( {AMN} \right)\).
Mà \(P \in SD\) nên \(P=SD\cap (AMN)\)
c) Ta có: \(\left( {AMN} \right) \cap \left({SAD} \right) = AP\)
+) \(\left( {AMN} \right) \cap \left({SCD} \right) = PN\)
+) \(\left( {AMN} \right) \cap \left({SBC} \right) = MN\)
+) \(\left( {AMN} \right) \cap \left({SAB} \right) = AM\)
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \((AMN)\) là tứ giác \(AMNP\).
a) Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tìm điểm chung của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \((AMN)\) theo các bước:
- Tìm một mp chứa SD mà cắt được với (AMN).
- Tìm giao tuyến của mp vừa tìm với (AMN).
- Tìm giao điểm của giao tuyến đó với SD.
c) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (AMN) với tất cả các mặt của hình chóp.
Lời giải chi tiết
A) Trong \((ABCD)\) gọi \(E=AD\cap BC\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\E \in BC \subset \left({SBC} \right)\end{array} \right.\) \(\Rightarrow E \in \left( {SAD} \right) \cap \left({SBC} \right)\).
Mà \(S \in \left( {SAD} \right) \cap \left({SBC} \right)\) \(\Rightarrow SE = \left( {SAD} \right) \cap \left({SBC} \right)\).
b) + Ta có: \(SD \subset \left( {SAD} \right)\)
+ Tìm giao tuyến của SD với (AMN).
Trong \((SBE)\): gọi \(F=MN ∩ SE\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
F \in MN \subset \left({AMN} \right)\\
F \in SE \subset \left({SAD} \right)
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow F \in \left( {AMN} \right) \cap \left({SAD} \right)\)
Mà \(A \in \left( {AMN} \right) \cap \left({SAD} \right)\) nên \(AF = \left( {AMN} \right) \cap \left({SAD} \right)\)
+ Tìm giao điểm của AF với SD.
Trong \((SAE)\): gọi \(P= AF ∩ SD\)
\(\Rightarrow P \in AF \subset \left( {AMN} \right)\).
Mà \(P \in SD\) nên \(P=SD\cap (AMN)\)
c) Ta có: \(\left( {AMN} \right) \cap \left({SAD} \right) = AP\)
+) \(\left( {AMN} \right) \cap \left({SCD} \right) = PN\)
+) \(\left( {AMN} \right) \cap \left({SBC} \right) = MN\)
+) \(\left( {AMN} \right) \cap \left({SAB} \right) = AM\)
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \((AMN)\) là tứ giác \(AMNP\).