Bài 5.82 trang 212 SBT đại số và giải tích 11

Câu hỏi: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 2x + 1.\)
Hãy tính \(\Delta f\left( 1 \right), df\left(1 \right)\) và so sánh chúng, nếu

Câu a​

\(\Delta x = 1\)
Phương pháp giải:
Tính \(\Delta f(x)\) rồi thay các \(\Delta x\) vào kiểm tra.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(\Delta x\)là số gia của đối số tại \(x = 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta f\left( 1 \right) = f\left({1 + \Delta x} \right) - f\left(1 \right)\\ = {\left({1 + \Delta x} \right)^3} - 2\left({1 + \Delta x} \right) + 1 - 0\\ = 1 + 3\Delta x + 3{\left({\Delta x} \right)^2} + {\left({\Delta x} \right)^3}\\ - 2 - 2\Delta x + 1\\ = \Delta x + 3{\left({\Delta x} \right)^2} + {\left({\Delta x} \right)^3}\\f'\left(x \right) = 3{x^2} - 2\\ \Rightarrow f'\left(1 \right) = {3.1^2} - 2 = 1\\ \Rightarrow df\left(1 \right) = f'\left(1 \right)\Delta x = \Delta x\end{array}\)
Vậy
\(\begin{array}{l}\Delta f\left( 1 \right) = \Delta x + 3{\left({\Delta x} \right)^2} + {\left({\Delta x} \right)^3}\\df\left(1 \right) = \Delta x\end{array}\)
Với
\(\begin{array}{l}\Delta x = 1\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) = 1 + 3 + 1 = 5\\df\left(1 \right) = 1\\ \Rightarrow \Delta f\left(1 \right) > df\left(1 \right)\end{array}\)

Câu b​

\(\Delta x = 0,1\)
Lời giải chi tiết:
Với
\(\begin{array}{l}\Delta x = 0,1\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) = 0,1 + 3.0,{1^2} + 0,{1^3}\\ = 0,131\\df\left(1 \right) = 0,1\\ \Rightarrow \Delta f\left(1 \right) > df\left(1 \right)\end{array}\)

Câu c​

\(\Delta x = 0,01\)
Lời giải chi tiết:
Với
\(\begin{array}{l}\Delta x = 0,01\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) = 0,01 + 3.0,{01^2} + 0,{01^3}\\ = 0,010301\\df\left(1 \right) = 0,01\\ \Rightarrow \Delta f\left(1 \right) > df\left(1 \right)\end{array}\)