Google
Câu hỏi: Cho hai số a, b không âm. Chứng minh:
\( \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
(Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm).
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
\( \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
(Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm).
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Phương pháp giải
Áp dụng hằng đẳng thức:
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Với \({\rm{A}} \ge {\rm{0}}\) thì \(A = \sqrt {{A^2}} \)
Lời giải chi tiết
Vì \(a ≥ 0\) nên \( \displaystyle\sqrt a \) xác định, \( b ≥ 0\) nên \( \displaystyle\sqrt b \) xác định
Ta có:
\( \displaystyle\eqalign{
& {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \cr} \)
\( \displaystyle \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \( a = b\).
Áp dụng hằng đẳng thức:
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Với \({\rm{A}} \ge {\rm{0}}\) thì \(A = \sqrt {{A^2}} \)
Lời giải chi tiết
Vì \(a ≥ 0\) nên \( \displaystyle\sqrt a \) xác định, \( b ≥ 0\) nên \( \displaystyle\sqrt b \) xác định
Ta có:
\( \displaystyle\eqalign{
& {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \cr} \)
\( \displaystyle \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \( a = b\).