Bài 38 trang 11 SBT toán 9 tập 1

Câu hỏi: Cho các biểu thức:
A = \( \displaystyle\sqrt {{{2x + 3} \over {x - 3}}} \) và B = \( \displaystyle{{\sqrt {2x + 3} } \over {\sqrt {x - 3} }}\)

Câu a​

Tìm \(x\) để A có nghĩa. Tìm \(x\) để B có nghĩa .
Phương pháp giải:
Áp dụng:
+) Để \(\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) có nghĩa thì \(A \ge 0;B > 0\)
+) Để \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} \) có nghĩa ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1:
\(\left\{ \begin{array}{l}
A \ge 0\\
B > 0
\end{array} \right.\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \begin{array}{l}
A \le 0\\
B < 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \( \displaystyle\sqrt {{{2x + 3} \over {x - 3}}} \) có nghĩa khi và chỉ khi \( \displaystyle{{2x + 3} \over {x - 3}} \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3 \ge 0\\
x - 3 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x \ge - 3\\
x > 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \dfrac{{ - 3}}{2}\\
x > 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3
\end{array}\)
Trường hợp 2:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3 \le 0\\
x - 3 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x \le - 3\\
x < 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \dfrac{{ - 3}}{2}\\
x < 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le \dfrac{{ - 3}}{2}
\end{array}\)
Vậy với \(x > 3\) hoặc x \( \displaystyle \le \) \( \displaystyle - {3 \over 2}\) thì biểu thức A có nghĩa.
Ta có: \( \displaystyle{{\sqrt {2x + 3} } \over {\sqrt {x - 3} }}\) có nghĩa khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3 \ge 0\\
x - 3 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x \ge - 3\\
x > 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \dfrac{{ - 3}}{2}\\
x > 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3
\end{array}\)
Vậy \(x > 3\) thì biểu thức B có nghĩa.

Câu b​

Với giá trị nào của \(x\) thì \(A=B?\)
Phương pháp giải:
Sử dụng kết quả câu a và công thức \(\sqrt{\dfrac{A}B}=\dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}\) với \(A\ge 0, B>0\).
Lời giải chi tiết:
Với \(x > 3\) thì A và B đồng thời có nghĩa.
Khi đó: \(A=B\)
\( \Leftrightarrow \displaystyle\sqrt {{{2x + 3} \over {x - 3}}} = \displaystyle{{\sqrt {2x + 3} } \over {\sqrt {x - 3} }}\) (luôn đúng)
Vậy với \(x > 3\) thì \(A = B\).