Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng:
\({x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}\), \(∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0\).
\({x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}\), \(∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0\).
Phương pháp giải
Sử dụng từ bất đẳng thức \((x - y)^2\ge 0\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \((x - y)^2\ge 0\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} \ge xy\)
Do \(x ≥ 0, y ≥ 0\) \(\Rightarrow x + y ≥ 0\)
Ta có
\(\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)({x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy){\rm{ }} \ge \left({x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)xy\)
\(\Leftrightarrow {x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}\)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
{x^3} + {y^3} \ge {x^2}y + x{y^2}\\
\Leftrightarrow \left({{x^3} - {x^2}y} \right) - \left({x{y^2} - {y^3}} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {x^2}\left({x - y} \right) - {y^2}\left({x - y} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left({x - y} \right)\left({{x^2} - {y^2}} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left({x - y} \right)\left({x - y} \right)\left({x + y} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left({x - y} \right)^2}\left({x + y} \right) \ge 0 \left({dung} \right)
\end{array}\)
(Do \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) và \(x, y \ge 0 \Rightarrow x + y \ge 0\)
Dấu "=" xảy ra khi \({\left( {x - y} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = y\)
Sử dụng từ bất đẳng thức \((x - y)^2\ge 0\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \((x - y)^2\ge 0\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} \ge xy\)
Do \(x ≥ 0, y ≥ 0\) \(\Rightarrow x + y ≥ 0\)
Ta có
\(\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)({x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy){\rm{ }} \ge \left({x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)xy\)
\(\Leftrightarrow {x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}\)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
{x^3} + {y^3} \ge {x^2}y + x{y^2}\\
\Leftrightarrow \left({{x^3} - {x^2}y} \right) - \left({x{y^2} - {y^3}} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {x^2}\left({x - y} \right) - {y^2}\left({x - y} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left({x - y} \right)\left({{x^2} - {y^2}} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left({x - y} \right)\left({x - y} \right)\left({x + y} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left({x - y} \right)^2}\left({x + y} \right) \ge 0 \left({dung} \right)
\end{array}\)
(Do \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) và \(x, y \ge 0 \Rightarrow x + y \ge 0\)
Dấu "=" xảy ra khi \({\left( {x - y} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = y\)