Bài 3 trang 79 SGK Đại số 10

Câu hỏi: Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a) Chứng minh \((b-c)^2< a^2\);
b) Từ đó suy ra \(a^2+ b^2+ c^2< 2(ab + bc +ca)\).

Câu a​

Chứng minh \((b-c)^2< a^2\);
Phương pháp giải:
Ta biết trong một tam giác thì một cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia: \(a + b > c\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({\left( {b - c} \right)^2} - {a^2} = \left({b - c - a} \right)\left({b - c + a} \right)\)
Do \(b < a + c \Rightarrow b - a - c < 0\) và \(b + a > c \Rightarrow b + a - c > 0\)
Suy ra \(\left( {b - c - a} \right)\left({b + a - c} \right) < 0\) hay \({\left( {b - c} \right)^2} - {a^2} < 0 \Leftrightarrow {\left({b - c} \right)^2} < {a^2}\) (điều phải chứng minh).

Câu b​

Từ đó suy ra \(a^2+ b^2+ c^2< 2(ab + bc +ca)\).
Lời giải chi tiết:
Từ kết quả câu a), ta có:
\(\begin{array}{l}
{a^2} > {\left({b - c} \right)^2}\\
{b^2} > {\left({a - c} \right)^2}\\
{c^2} > {\left({a - b} \right)^2}
\end{array}\)
\({a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{\left( {b - c} \right)^2} + {\rm{ }}{\left({a{\rm{ }}-{\rm{ }}c} \right)^2} \)\(+ {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }} - {\rm{ }}b} \right)^2}\)
\(\Leftrightarrow {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2bc{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} \)\(+ {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2ac{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{b^2}-{\rm{ }}2ab\)
\(\Leftrightarrow 2ab + 2bc + 2ca > {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
\( \Leftrightarrow 2\left( {ab{\rm{ }} + {\rm{ }}bc{\rm{ }} + {\rm{ }}ac} \right){\rm{ }} > {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}\)
hay: \(a^2+ b^2+ c^2< 2(ab + bc +ca)\) (điều phải chứng minh).