Bài 3 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho khối tứ diện \(ABCD, E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh \(AB\) và \(CD\). Hai mặt phẳng \((ABF)\) và \((CDE)\) chia khối tứ diện \(ABCD\) thành bốn khối tứ diện.

Câu a​

Kể tên bốn khối tứ diện đó.
Lời giải chi tiết:

Hai mặt phẳng \((ABF)\) và \((CDE)\) chia khối tứ diện \(ABCD\) thành bốn khối tứ diện \(ADEF, ACEF, BDEF, BCEF\)

Câu b​

Chứng tỏ rằng bốn khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Do E là trung điểm của AB nên S∆BEF​=S∆AEF​
⇒ VCBEF​ = VCAEF​ và VDBEF​ = VDAEF​ (1)
Tương tự S∆CEF​ = S∆DEF​ và VACEF​ = VADEF​ (2)
Từ (1) và (2), suy ra: VBCEF​=VADEF​=VBDEF​=VADEF​

Câu c​

Chứng tỏ rằng nếu \(ABCD\) là khối tứ diện đều thì bốn khối tứ diện nói trên bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Nếu \(ABCD\) là tứ diện đều thì nó nhận mp \((ABF)\) và mp \((CDE)\) làm các mặt phẳng đối xứng và phép đối xứng qua đường thẳng \(EF\) biến tứ diện \(ADEF\) thành tứ diện \(BCEF\). Từ đó suy ra:
Khối tứ diện \(ADEF\) bằng khối tứ diện \(ACEF\) (vì chúng đối xứng với nhau qua mp \((ABF)\))
Khối tứ diện \(ADEF\) bằng khối tứ diện \(BDEF\) (vì chúng đối xứng với nhau qua mp \((CDE)\))
Khối tứ diện \(ADEF\) bằng khối tứ diện \(BCEF\) (vì phép đối xứng qua trục \(EF\) biến tứ diện này thành tứ diện kia)
Cách khác:
Ta có: Phép đối xứng qua (ABF) biến:
+ tứ diện ACEF thành tứ diện ADEF
+ tứ diện BCEF thành BDEF
Phép đối xứng qua (CED) biến:
+ tứ diện BDEF thành tứ diện ADEF
+ tứ diện BCEF thành ACEF.
Suy ra các tứ diện BCEF, ACEF, ADEF, BDEF bằng nhau.