Google
Câu hỏi: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(\begin{array}{l}a) y = 5\sin x - 3\cos x\\b) y = \dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x - \cos x}}\\c) y = x\cot x\\d) y = \dfrac{{\sin x}}{x} + \dfrac{x}{{\sin x}}\\e) y = \sqrt {1 + 2\tan x} \\f) y = \sin \sqrt {1 + {x^2}} \end{array}\)
\(\begin{array}{l}a) y = 5\sin x - 3\cos x\\b) y = \dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x - \cos x}}\\c) y = x\cot x\\d) y = \dfrac{{\sin x}}{x} + \dfrac{x}{{\sin x}}\\e) y = \sqrt {1 + 2\tan x} \\f) y = \sin \sqrt {1 + {x^2}} \end{array}\)
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức tính đạo hàm của các hàm lượng giác:
\(\begin{array}{l}
\left({\sin x} \right)' = \cos x, \left({\cos x} \right)' = - \sin x,\\
\left({\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}, \left({\cot x} \right)' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}
\end{array}\)
Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của 1 tích, 1 thương và quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp.
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}
a) y = 5\sin x - 3\cos x\\
\Rightarrow y' = 5\left({\sin x} \right)' - 3\left({\cos x} \right)'\\y' = 5\cos x - 3.\left({ - \sin x} \right)\\y' = 5\cos x + 3\sin x\\
b) y = \dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x - \cos x}}\\
\Rightarrow y' = \dfrac{{\left({\sin x + \cos x} \right)'\left({\sin x - \cos x} \right) - \left({\sin x + \cos x} \right)\left({\sin x - \cos x} \right)'}}{{{{\left({\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{\left({\cos x - \sin x} \right)\left({\sin x - \cos x} \right) - \left({\sin x + \cos x} \right)\left({\cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left({\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\\
y' = \dfrac{{2\sin x\cos x - 1 - 1 - 2\sin x\cos x}}{{{{\left({\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\\
y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left({\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\\
c) y = x\cot x\\
\Rightarrow y' = \left(x \right)'.\cot x + x.\left({\cot x} \right)'\\y' = \cot x + x.\left({ - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\\y' = \cot x - \dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}\\
d) y = \dfrac{{\sin x}}{x} + \dfrac{x}{{\sin x}}\\
\Rightarrow y' = \left({\dfrac{{\sin x}}{x}} \right)' + \left({\dfrac{x}{{\sin x}}} \right)'\\y' = \dfrac{{\left({\sin x} \right)'. X - \sin x.\left({x} \right)'}}{{{x^2}}} + \dfrac{{\left(x \right)'.\sin x - x.\left({\sin x} \right)'}}{{{{\sin }^2}x}}\\y' = \dfrac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \dfrac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\
y' = \left({x\cos x - \sin x} \right)\left({\dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\\
e) y = \sqrt {1 + 2\tan x} \\
\Rightarrow y' = \dfrac{{\left({1 + 2\tan x} \right)'}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\y' = \dfrac{{2\left({\tan x} \right)'}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\y' = \dfrac{{\left({\tan x} \right)'}}{{\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\y' = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\
y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x.\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\
f) y = \sin \sqrt {1 + {x^2}} \\
\Rightarrow y' = \cos \sqrt {1 + {x^2}} .\left({\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'\\y' = \cos \sqrt {1 + {x^2}} .\dfrac{{\left({1 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\y' = \cos \sqrt {1 + {x^2}} .\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
y' = \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\cos \sqrt {1 + {x^2}}
\end{array}\)
Sử dụng các công thức tính đạo hàm của các hàm lượng giác:
\(\begin{array}{l}
\left({\sin x} \right)' = \cos x, \left({\cos x} \right)' = - \sin x,\\
\left({\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}, \left({\cot x} \right)' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}
\end{array}\)
Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của 1 tích, 1 thương và quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp.
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}
a) y = 5\sin x - 3\cos x\\
\Rightarrow y' = 5\left({\sin x} \right)' - 3\left({\cos x} \right)'\\y' = 5\cos x - 3.\left({ - \sin x} \right)\\y' = 5\cos x + 3\sin x\\
b) y = \dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x - \cos x}}\\
\Rightarrow y' = \dfrac{{\left({\sin x + \cos x} \right)'\left({\sin x - \cos x} \right) - \left({\sin x + \cos x} \right)\left({\sin x - \cos x} \right)'}}{{{{\left({\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{\left({\cos x - \sin x} \right)\left({\sin x - \cos x} \right) - \left({\sin x + \cos x} \right)\left({\cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left({\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\\
y' = \dfrac{{2\sin x\cos x - 1 - 1 - 2\sin x\cos x}}{{{{\left({\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\\
y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left({\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\\
c) y = x\cot x\\
\Rightarrow y' = \left(x \right)'.\cot x + x.\left({\cot x} \right)'\\y' = \cot x + x.\left({ - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\\y' = \cot x - \dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}\\
d) y = \dfrac{{\sin x}}{x} + \dfrac{x}{{\sin x}}\\
\Rightarrow y' = \left({\dfrac{{\sin x}}{x}} \right)' + \left({\dfrac{x}{{\sin x}}} \right)'\\y' = \dfrac{{\left({\sin x} \right)'. X - \sin x.\left({x} \right)'}}{{{x^2}}} + \dfrac{{\left(x \right)'.\sin x - x.\left({\sin x} \right)'}}{{{{\sin }^2}x}}\\y' = \dfrac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \dfrac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\
y' = \left({x\cos x - \sin x} \right)\left({\dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\\
e) y = \sqrt {1 + 2\tan x} \\
\Rightarrow y' = \dfrac{{\left({1 + 2\tan x} \right)'}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\y' = \dfrac{{2\left({\tan x} \right)'}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\y' = \dfrac{{\left({\tan x} \right)'}}{{\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\y' = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\
y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x.\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\
f) y = \sin \sqrt {1 + {x^2}} \\
\Rightarrow y' = \cos \sqrt {1 + {x^2}} .\left({\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'\\y' = \cos \sqrt {1 + {x^2}} .\dfrac{{\left({1 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\y' = \cos \sqrt {1 + {x^2}} .\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
y' = \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\cos \sqrt {1 + {x^2}}
\end{array}\)