Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(1; 1; 0).
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).
Phương pháp giải
- Gọi phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)
- Thay tọa độ các điểm \(A, B, C, D\) vào phương trình mặt cầu tìm \(a, b, c, d\).
Lời giải chi tiết
a) Phương trình mặt cầu (S) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) (*)
Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào (*) ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 2a + d = 0}\\{1 - 2b + d = 0}\\{1 - 2c + d = 0}\\{2 - 2a - 2b + d = 0}\end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{1}{2}}\\{b = \dfrac{1}{2}}\\{c = \dfrac{1}{2}}\\{d = 0}\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x2 + y2 + z2 – x – y – z = 0
b) Ta có \(\overrightarrow {AC} = ( - 1; 0; 1)\) và \(\overrightarrow {AD} = (0; 1; 0)\)
Suy ra (ACD) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = ( - 1; 0; - 1)\) hay \(\overrightarrow {n'} = (1; 0; 1)\)
Vậy phương trình của mặt phẳng (ACD) là x – 1 + z = 0 hay x + z – 1 = 0
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
Ta có \(I \in (ACD)\), suy ra mặt phẳng (ACD) cắt (S) theo một đường tròn có tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) và có bán kính r bằng bán kính mặt cầu (S), vậy:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)\(= \sqrt {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
- Gọi phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)
- Thay tọa độ các điểm \(A, B, C, D\) vào phương trình mặt cầu tìm \(a, b, c, d\).
Lời giải chi tiết
a) Phương trình mặt cầu (S) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) (*)
Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào (*) ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 2a + d = 0}\\{1 - 2b + d = 0}\\{1 - 2c + d = 0}\\{2 - 2a - 2b + d = 0}\end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{1}{2}}\\{b = \dfrac{1}{2}}\\{c = \dfrac{1}{2}}\\{d = 0}\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x2 + y2 + z2 – x – y – z = 0
b) Ta có \(\overrightarrow {AC} = ( - 1; 0; 1)\) và \(\overrightarrow {AD} = (0; 1; 0)\)
Suy ra (ACD) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = ( - 1; 0; - 1)\) hay \(\overrightarrow {n'} = (1; 0; 1)\)
Vậy phương trình của mặt phẳng (ACD) là x – 1 + z = 0 hay x + z – 1 = 0
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
Ta có \(I \in (ACD)\), suy ra mặt phẳng (ACD) cắt (S) theo một đường tròn có tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) và có bán kính r bằng bán kính mặt cầu (S), vậy:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)\(= \sqrt {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).