Bài 3.2* phần bài tập bổ sung trang 18 SBT toán 8 tập 2

Câu hỏi:

Câu a​

Cho ba số \(a, b\) và \(c\) đôi một phân biệt. Giải phương trình
\(\displaystyle{x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + {x \over {\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} \)\(\displaystyle+ {x \over {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = 2\)
Phương pháp giải:
Để giải các phương trình đưa được về \(ax + b = 0\) ta thường biến đổi phương trình như sau :
+ Quy đồng mẫu hai vế phương trình và khử mẫu.
+ Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng \(ax + b=0\) hoặc \(ax=-b\).
+ Tìm nghiệm của phương trình dạng \(ax+b=0\).
Lời giải chi tiết:
Do \(a, b, c\) đôi một khác nhau nên \(\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\ne 0 \)
Ta có:
\(\displaystyle{x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + {x \over {\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} \)\(\displaystyle + {x \over {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = 2\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{x\left( {c - b} \right) + x\left( {a - c} \right) + x\left( {b - a} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} \) \(= 2 \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {c - b + a - c + b - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = 2\\
\Leftrightarrow \dfrac{{x.0}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = 2\\
\Leftrightarrow 0 = 2 (vô lý)
\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu b​

Cho số \(a\) và ba số \(b, c, d\) khác \(a\) và thỏa mãn điều kiện \(c + d = 2b\). Giải phương trình
\(\displaystyle{x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - {{2x} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(\displaystyle + {{3x} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(\displaystyle = {{4a} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}\)
Phương pháp giải:
Để giải các phương trình đưa được về \(ax + b = 0\) ta thường biến đổi phương trình như sau :
+ Quy đồng mẫu hai vế phương trình và khử mẫu.
+ Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng \(ax + b=0\) hoặc \(ax=-b\).
+ Tìm nghiệm của phương trình dạng \(ax+b=0\).
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle{x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - {{2x} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(\displaystyle + {{3x} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(\displaystyle = {{4a} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{x\left( {a - d} \right) - 2x\left( {a - c} \right) + 3x\left( {a - b} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(\displaystyle = {{4a\left( {a - b} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} \)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {a - d - 2a + 2c + 3a - 3b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(= \dfrac{{4a\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow x\left( {a - d - 2a + 2c + 3a - 3b} \right) \)\(\displaystyle = 4a\left( {a - b} \right) \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x\left( {2a - 3b + 2c - d} \right) = 4a\left( {a - b} \right) (*)\)
Theo giả thiết, \(b + d = 2c\) nên \(b=2c-d\)
Do đó \(2a – 3b + 2c – d = 2a-3b+b\)\(= 2a-2b= 2 (a – b )\).
Từ đó phương trình (*) trở thành:
\(\displaystyle 2\left( {a - b} \right)x = 4a\left( {a - b} \right)\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x = \dfrac {4a\left( {a - b} \right)}{2\left( {a - b} \right)}\) (vì \(a – b ≠ 0)\)
\(\Leftrightarrow x = 2a\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x =2a.\)