Bài 25 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm (2; 1)
Lời giải chi tiết:
Vì M(2; 1) nằm trong góc phần tư thứ nhất và đường tròn cần tìm (C) tiếp xúc với hai trục tọa độ nên (C) cũng ở trong góc phần tư thứ nhất.
(C) tiếp xúc với Ox và Oy nên (C) có tâm I (a; a) và bán kính R= a (a > 0).
Do đó (C) có phương trình là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left({y - a} \right)^2} = {a^2}\)
Vì \(M(2; 1)\in(C)\) nên
\(\eqalign{
& {\left({2 - a} \right)^2} + {\left({1 - a} \right)^2} = {a^2} \cr & \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + {a^2} - 2a + 1 = {a^2}\cr &\Leftrightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0 (C) \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr 
a = 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Với \(a =1\) ta có (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} = 1.\)
+) Với \(a=5\) ta có \((C):{\left({x - 5} \right)^2} + {\left({y - 5} \right)^2} = 25.\)

Câu b​

Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm (1,1); (1,4) và tiếp xúc với trục Ox.
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng Ox: \(y = 0\).
Giả sử: \(I (a; b)\) là tâm của đường tròn cần tìm.
Ta có: \(R = d\left( {I;{\rm{Ox}}} \right) = |b|\)
Phương trình đường tròn có dạng
\((C):{\left({x - a} \right)^2} + {\left({y - b} \right)^2} = {b^2}\)
Vì \(\left( {1; 1} \right) \in (C)\) và \(\left( {1; 4} \right) \in (C)\) nên ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
{\left({1 - a} \right)^2} + {\left({1 - b} \right)^2} = {b^2} (1) \hfill \cr 
{\left({1 - a} \right)^2} + {\left({4 - b} \right)^2} = {b^2} (2) \hfill \cr} \right.\)
Lấy \(\left( 1 \right) - \left(2 \right)\) vế với vế ta được:
\({\left( {1 - b} \right)^2} - {\left({4 - b} \right)^2}=0\)
\( \Leftrightarrow 1 - 2b + {b^2} - 16 + 8b - {b^2} = 0 \)
\(\Leftrightarrow  - 15 + 6b = 0\) \(\Leftrightarrow b = {5 \over 2}.\)
Thay \(b = {5 \over 2}\) vào (1) ta được:
\(\begin{array}{l}
{\left({1 - a} \right)^2} + {\left({1 - \frac{5}{2}} \right)^2} = {\left({\frac{5}{2}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {\left({1 - a} \right)^2} = 4\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - a = 2\\
1 - a = - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = - 1\\
a = 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
Với \(a = 3, b = \frac{5}{2}\) ta có pt đường tròn là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left({y - {5 \over 2}} \right)^2} = {{25} \over 4};\)
Với \(a = -1, b = \frac{5}{2}\) ta có pt đường tròn là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left({y - {5 \over 2}} \right)^2} = {{25} \over 4}.\)