Bài 19 trang 18 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Lời giải chi tiết
Giả sử và lần lượt là trung điểm của .
Ta có

và

Suy ra

Do đó,  , tức là .
Vậy trung điểm của hai đoạn thẳng và trùng nhau.
Ngược lại, ta giả sử trung điểm của hai đoạn thẳng và trùng nhau, suy ra

Suy ra .
Cách khác:

Ta chứng minh hai mệnh đề.
a) Cho  thì và có trung điểm trùng nhau.
Gọi là trung điểm của ta chứng minh cũng là trung điểm của .
Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có
;

Vì  nên 

    (1)
Vì là trung điểm của nên   (2)
Từ (1) và (2) suy ra   (3)
Đẳng thức (3) chứng tỏ là trung điểm của .
b) và có cùng trung điểm , ta chứng minh  = .
là trung điểm của  
là trung điểm của      
Suy ra
    (đpcm)
Chú ý:
Các em có thể trình bày ngắn gọn như sau:
Gọi là trung điểm của ta có:
Do đó,