Google
Câu hỏi: Tam giác \(ABC\) có các đường phân giác \(AD, BE\) và \(CF\) (h15).
Chứng minh rằng:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}}.{{EC} \over {EA}}.{{FA} \over {FB}} = 1\)
Chứng minh rằng:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}}.{{EC} \over {EA}}.{{FA} \over {FB}} = 1\)
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
Lời giải chi tiết
Áp dụng tính chất đường phân giác vào \(\Delta ABC\)
Đường phân giác \(AD\) của \(\widehat {BAC}\) ta có:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (1)
Đường phân giác \(BE\) của \(\widehat {ABC}\) ta có:
\(\displaystyle{{EC} \over {EA}} = {{BC} \over {AB}}\) (2)
Đường phân giác \(CF\) của \(\widehat {ACB}\) ta có:
\(\displaystyle {{FA} \over {FB}} = {{CA} \over {CB}}\) (3)
Nhân từng vế (1), (2) và (3), ta được:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}}.{{EC} \over {EA}}.{{FA} \over {FB}} = {{AB} \over {AC}}.{{BC} \over {AB}}.{{CA} \over {CB}} \)\( = 1\).
Sử dụng tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
Lời giải chi tiết
Áp dụng tính chất đường phân giác vào \(\Delta ABC\)
Đường phân giác \(AD\) của \(\widehat {BAC}\) ta có:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (1)
Đường phân giác \(BE\) của \(\widehat {ABC}\) ta có:
\(\displaystyle{{EC} \over {EA}} = {{BC} \over {AB}}\) (2)
Đường phân giác \(CF\) của \(\widehat {ACB}\) ta có:
\(\displaystyle {{FA} \over {FB}} = {{CA} \over {CB}}\) (3)
Nhân từng vế (1), (2) và (3), ta được:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}}.{{EC} \over {EA}}.{{FA} \over {FB}} = {{AB} \over {AC}}.{{BC} \over {AB}}.{{CA} \over {CB}} \)\( = 1\).