Bài 22 trang 88 SBT toán 8 tập 2

Phương pháp giải
Sử dụng:
- Tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
- Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc.
- Tính chất: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}\)
Lời giải chi tiết
a) Vì \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên ta có:
\(\displaystyle {{AD} \over {DC}} = {{AB} \over {BC}}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)
Áp dụng tính chất mở rộng của tỉ lệ thức ta có:
\(\displaystyle {{AD} \over {DC}} = {{AB} \over {BC}}\)
\( \Rightarrow \displaystyle {{AD} \over {AD + DC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\)
\( \Rightarrow \displaystyle {{AD} \over {AC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\)
Mà \(∆ ABC\) cân tại \(A\) nên \(AC = AB = 15 (cm)\).
\( \Rightarrow \displaystyle {{AD} \over {15}} = {{15} \over {15 + 10}} \)
\( \Rightarrow \displaystyle AD = {{15.15} \over {25}} = 9 (cm)\)
Vậy \(DC = AC - AD = 15 - 9 = 6 (cm)\).
b) Vì \(BE ⊥ BD\) nên \(BE\) là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh \(B\) (tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc)
\( \Rightarrow \displaystyle {{EC} \over {EA}} = {{BC} \over {BA}}\) (tính chất đường phân giác )
\( \Rightarrow \displaystyle {{EC} \over {EC + AC}} = {{BC} \over {BA}} \)
\(\Rightarrow EC.BA = BC\left( {EC + AC} \right)\)
\(\Rightarrow EC.BA - EC.BC = BC.AC \)
\( \Rightarrow EC\left( {BA - BC} \right) = BC.AC \)
\( \Rightarrow \displaystyle EC = {{BC.AC} \over {BA - BC}} = {{10.15} \over {15 - 10}} = 30\)\( (cm).\)