Google
Câu hỏi: Tam giác vuông \(ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ ,\) \(AB = 12cm, AC = 16cm;\) đường phân giác góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D.\)
a) Tính \(BC, BD\) và \(CD.\)
b) Vẽ đường cao \(AH,\) tính \(AH, HD\) và \(AD.\)
a) Tính \(BC, BD\) và \(CD.\)
b) Vẽ đường cao \(AH,\) tính \(AH, HD\) và \(AD.\)
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
- Định lí Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.
- Tính chất: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}\)
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} \)\( = 400\)
\( \Rightarrow BC = 20 (cm)\).
Vì \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên ta có:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)
Áp dụng tính chất mở rộng của tỉ lệ thức ta có:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)
\( \Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)
\( \Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)
\( \Rightarrow \displaystyle DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{20.12} \over {12 + 16}} \)\( \displaystyle = {{60} \over 7}\) (cm)
Vậy \(DC = BC - DB = \displaystyle 20 - {{60} \over 7} = {{80} \over 7}\) (cm)
b) Ta có \(\displaystyle {S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}AH.BC\)
\( \Rightarrow AB.AC = AH.BC\)
\( \Rightarrow \displaystyle AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{12.16} \over {20}} = 9,6\) (cm)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AHB\), ta có:
\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)
\( \Rightarrow H{B^2} = A{B^2} - A{H^2}\)\( = {12^2} - {\left( {9,6} \right)^2} = 51,84 \)
\(\Rightarrow HB = 7,2 (cm) \)
Vậy \(\displaystyle HD = BD - HB = {{60} \over 7} - 7,2 \)\( \approx 1,37 (cm)\)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AHD\), ta có:
\(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} \)\( = {\left( {9,6} \right)^2} + {\left( {1,37} \right)^2} \)\( = 94,0369\)
\( \Rightarrow AD ≈ 9,7 (cm)\).
Sử dụng:
- Tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
- Định lí Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.
- Tính chất: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}\)
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} \)\( = 400\)
\( \Rightarrow BC = 20 (cm)\).
Vì \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên ta có:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)
Áp dụng tính chất mở rộng của tỉ lệ thức ta có:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)
\( \Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)
\( \Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)
\( \Rightarrow \displaystyle DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{20.12} \over {12 + 16}} \)\( \displaystyle = {{60} \over 7}\) (cm)
Vậy \(DC = BC - DB = \displaystyle 20 - {{60} \over 7} = {{80} \over 7}\) (cm)
b) Ta có \(\displaystyle {S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}AH.BC\)
\( \Rightarrow AB.AC = AH.BC\)
\( \Rightarrow \displaystyle AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{12.16} \over {20}} = 9,6\) (cm)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AHB\), ta có:
\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)
\( \Rightarrow H{B^2} = A{B^2} - A{H^2}\)\( = {12^2} - {\left( {9,6} \right)^2} = 51,84 \)
\(\Rightarrow HB = 7,2 (cm) \)
Vậy \(\displaystyle HD = BD - HB = {{60} \over 7} - 7,2 \)\( \approx 1,37 (cm)\)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AHD\), ta có:
\(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} \)\( = {\left( {9,6} \right)^2} + {\left( {1,37} \right)^2} \)\( = 94,0369\)
\( \Rightarrow AD ≈ 9,7 (cm)\).