Google
Câu hỏi: Tam giác \(ABC\) có \(AB = 15cm, AC = 20cm,\) \( BC = 25cm.\) Đường phân giác góc \(BAC\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\) (h.14)
a) Tính độ dài đoạn thẳng \(DB\) và \(DC\).
b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác \(ABD\) và \(ACD.\)
a) Tính độ dài đoạn thẳng \(DB\) và \(DC\).
b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác \(ABD\) và \(ACD.\)
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
- Tính chất: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}\)
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng tính chất đường phân giác vào \(\Delta ABC\), đường phân giác \(AD\) ta có:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{DB} \over {DC}} = {{15} \over {20}}=\dfrac{3}{4}\)
Ta có:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = \dfrac{3}{4}\)
\( \displaystyle \Rightarrow {{DB} \over {DB + DC}} = \dfrac{3}{{3 + 4}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{DB} \over {BC}} = \dfrac{3}{7}\)
\( \displaystyle \Rightarrow DB = \dfrac{3}{7}.BC = \dfrac{3}{7}.25 = {{75} \over 7}\) (cm)
Từ đó: \(DC=BC-BD\)\( \displaystyle =25- {{75} \over 7}={{100} \over 7}\) (cm)
b) Kẻ \(AH ⊥ BC\)
Ta có: \(\displaystyle {S_{ABD}} = {1 \over 2}AH.BD;\) \(\displaystyle {S_{ADC}} = {1 \over 2}AH.DC\)
\(\Rightarrow\displaystyle {{{S_{ABD}}} \over {{S_{ADC}}}} = {\displaystyle{{1 \over 2}AH.BD} \over {\displaystyle{1 \over 2}AH.DC}} = {{BD} \over {DC}}\)
Mà \(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{15} \over {20}} = {3 \over 4}\) (chứng minh trên )
Vậy \(\displaystyle {{{S_{ABD}}} \over {{S_{ADC}}}} = {3 \over 4}\).
Sử dụng:
- Tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
- Tính chất: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}\)
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng tính chất đường phân giác vào \(\Delta ABC\), đường phân giác \(AD\) ta có:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{DB} \over {DC}} = {{15} \over {20}}=\dfrac{3}{4}\)
Ta có:
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = \dfrac{3}{4}\)
\( \displaystyle \Rightarrow {{DB} \over {DB + DC}} = \dfrac{3}{{3 + 4}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{DB} \over {BC}} = \dfrac{3}{7}\)
\( \displaystyle \Rightarrow DB = \dfrac{3}{7}.BC = \dfrac{3}{7}.25 = {{75} \over 7}\) (cm)
Từ đó: \(DC=BC-BD\)\( \displaystyle =25- {{75} \over 7}={{100} \over 7}\) (cm)
b) Kẻ \(AH ⊥ BC\)
Ta có: \(\displaystyle {S_{ABD}} = {1 \over 2}AH.BD;\) \(\displaystyle {S_{ADC}} = {1 \over 2}AH.DC\)
\(\Rightarrow\displaystyle {{{S_{ABD}}} \over {{S_{ADC}}}} = {\displaystyle{{1 \over 2}AH.BD} \over {\displaystyle{1 \over 2}AH.DC}} = {{BD} \over {DC}}\)
Mà \(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{15} \over {20}} = {3 \over 4}\) (chứng minh trên )
Vậy \(\displaystyle {{{S_{ABD}}} \over {{S_{ADC}}}} = {3 \over 4}\).