Google
Câu hỏi: Lập một phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là \(\dfrac{1}{{10 - \sqrt {72} }}\) và \(\dfrac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }}\)
Phương pháp giải
Nếu hai số có tổng bằng \(S\) và tích bằng \(P\) (với \(S^2\ge 4P)\) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0.\)
Lời giải chi tiết
+) Tổng của hai nghiệm là \(S={x_1} + {x_2} = \dfrac{1}{{10 - \sqrt {72} }}\)\( + \dfrac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }}\)\( = \dfrac{1}{{10 - \sqrt {72} }} + \dfrac{1}{{10 + \sqrt {72} }}\)
\( = \dfrac{{10 + \sqrt {72} + 10 - \sqrt {72} }}{{{{10}^2} - {{\left( {\sqrt {72} } \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{20}}{{28}}.\)
+) Tích hai nghiệm là \(P={x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{{10 - \sqrt {72} }}.\dfrac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }} \)\(= \dfrac{1}{{28}}.\)
Nhận thấy \({S^2} = {\left( {\dfrac{{20}}{{28}}} \right)^2} > \dfrac{4}{{28}} = 4P\)
Nên phương trình phải tìm là :\({x^2} - \dfrac{{20}}{{28}}x + \dfrac{1}{{28}} = 0\) hay \(28{x^2} - 20x + 1 = 0.\)
Nếu hai số có tổng bằng \(S\) và tích bằng \(P\) (với \(S^2\ge 4P)\) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0.\)
Lời giải chi tiết
+) Tổng của hai nghiệm là \(S={x_1} + {x_2} = \dfrac{1}{{10 - \sqrt {72} }}\)\( + \dfrac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }}\)\( = \dfrac{1}{{10 - \sqrt {72} }} + \dfrac{1}{{10 + \sqrt {72} }}\)
\( = \dfrac{{10 + \sqrt {72} + 10 - \sqrt {72} }}{{{{10}^2} - {{\left( {\sqrt {72} } \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{20}}{{28}}.\)
+) Tích hai nghiệm là \(P={x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{{10 - \sqrt {72} }}.\dfrac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }} \)\(= \dfrac{1}{{28}}.\)
Nhận thấy \({S^2} = {\left( {\dfrac{{20}}{{28}}} \right)^2} > \dfrac{4}{{28}} = 4P\)
Nên phương trình phải tìm là :\({x^2} - \dfrac{{20}}{{28}}x + \dfrac{1}{{28}} = 0\) hay \(28{x^2} - 20x + 1 = 0.\)