Google
Câu hỏi: Chứng minh đẳng thức
\(\left( {\dfrac{1}{{a - \sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt a - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}\)\(= \dfrac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a }}\) với \(a > 0,a \ne 1\)
\(\left( {\dfrac{1}{{a - \sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt a - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}\)\(= \dfrac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a }}\) với \(a > 0,a \ne 1\)
Phương pháp giải
Để chứng minh đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia.
Lời giải chi tiết
Biến đổi vế trái ta được:
\(VT=\left( {\dfrac{1}{{a - \sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt a - 1}}} \right)\)\(:\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}\)
\(=\left( {\dfrac{1}{{ \sqrt a.(\sqrt a-1) }} + \dfrac{1}{{\sqrt a - 1}}} \right)\)\(:\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}\)
\(= \dfrac{{1 + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}\)
\( = \dfrac{{1 + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {a + 1} }}\)
\(= \dfrac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a }}(=VP)\)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Để chứng minh đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia.
Lời giải chi tiết
Biến đổi vế trái ta được:
\(VT=\left( {\dfrac{1}{{a - \sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt a - 1}}} \right)\)\(:\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}\)
\(=\left( {\dfrac{1}{{ \sqrt a.(\sqrt a-1) }} + \dfrac{1}{{\sqrt a - 1}}} \right)\)\(:\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}\)
\(= \dfrac{{1 + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}\)
\( = \dfrac{{1 + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {a + 1} }}\)
\(= \dfrac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a }}(=VP)\)
Vậy đẳng thức được chứng minh.