Google
Câu hỏi: Tìm hai số có tổng bằng \(20\) và tổng các bình phương của chúng bằng \(208.\)
Phương pháp giải
Sử dụng:
\(-\) Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
\(-\) Nếu hai số có tổng bằng \(S\) và tích bằng \(P\) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0.\)
Lời giải chi tiết
Gọi hai số cần tìm là \(x\) và \(y\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(x \ge y.\)
Vì hai số có tổng bằng \(20\) nên ta có phương trình: \(x+y=20\)
Vì tổng các bình phương của hai số đó bằng \(208\) nên ta có phương trình: \(x^2+y^2=208\)
Từ đó, ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{gathered} x + y = 20 \left( 1 \right) \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 208 \hfill \\\end{gathered} \right. \)
Từ phương trình \(\left( 1 \right)\) ta suy ra \({\left( {x + y} \right)^2} = {20^2}\) hay \({x^2} + {y^2} + 2xy = 400\)\( \Rightarrow 2xy = 400 -({x^2} + {y^2})\)\( \Rightarrow 2xy=400- 208 \)
\(\Rightarrow 2xy =192\)\(\Rightarrow xy =96\)
Do đó ta có hệ: \(\left\{ \begin{gathered} x + y = 20\hfill \\ xy = 96 \hfill \\\end{gathered} \right. \)
Suy ra các số là \(x\) và \(y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 20X + 96 = 0.\)
Giải phương trình này, ta có \(\Delta'=10^2-96=4>0\)
\(\Rightarrow X_1=10+2=12;\)\( X_2=10-2=8.\)
từ đó ta có nghiệm \(x = 12;y = 8.\)
Vậy hai số cần tìm là \(12\) và \(8.\)
Sử dụng:
\(-\) Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
\(-\) Nếu hai số có tổng bằng \(S\) và tích bằng \(P\) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0.\)
Lời giải chi tiết
Gọi hai số cần tìm là \(x\) và \(y\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(x \ge y.\)
Vì hai số có tổng bằng \(20\) nên ta có phương trình: \(x+y=20\)
Vì tổng các bình phương của hai số đó bằng \(208\) nên ta có phương trình: \(x^2+y^2=208\)
Từ đó, ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{gathered} x + y = 20 \left( 1 \right) \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 208 \hfill \\\end{gathered} \right. \)
Từ phương trình \(\left( 1 \right)\) ta suy ra \({\left( {x + y} \right)^2} = {20^2}\) hay \({x^2} + {y^2} + 2xy = 400\)\( \Rightarrow 2xy = 400 -({x^2} + {y^2})\)\( \Rightarrow 2xy=400- 208 \)
\(\Rightarrow 2xy =192\)\(\Rightarrow xy =96\)
Do đó ta có hệ: \(\left\{ \begin{gathered} x + y = 20\hfill \\ xy = 96 \hfill \\\end{gathered} \right. \)
Suy ra các số là \(x\) và \(y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 20X + 96 = 0.\)
Giải phương trình này, ta có \(\Delta'=10^2-96=4>0\)
\(\Rightarrow X_1=10+2=12;\)\( X_2=10-2=8.\)
từ đó ta có nghiệm \(x = 12;y = 8.\)
Vậy hai số cần tìm là \(12\) và \(8.\)