Google
Câu hỏi: Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(Q(2; 3)\) và cắt các tia \(Ox, Oy\) tại hai điểm \(M, N\) khác điểm \(O\) sao cho \(OM+ON\) nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Giả sử \(M=(m; 0), N=(0; n)\) với \(m, n >0\). Phương trình của \(\Delta \) là \(\dfrac{x}{m} + \dfrac{y}{n} = 1\).
\(Q \in \Delta \Rightarrow \dfrac{2}{m} + \dfrac{3}{n} = 1 \Rightarrow n = \dfrac{{3m}}{{m - 2}}\) (dễ thấy \(m \ne 2\)). Do \(n > 0\) nên \(m > 2.\)
Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có
\(\begin{array}{l}OM + ON = m + n = m + \dfrac{{3m}}{{m - 2}}\\= m - 2 + \dfrac{6}{{m - 2}} + 5\\ \ge 2\sqrt {(m - 2) \dfrac{6}{{m - 2}}} + 5 = 2\sqrt 6 + 5\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(m - 2 = \dfrac{6}{{m - 2}}\) hay \(m = 2 + \sqrt 6 \) (do \(m > 0\)).
Suy ra \(n = 3 + \sqrt 6 \). Vậy \(OM+ON\) nhỏ nhất bằng \(2\sqrt 6 + 5\) khi \(m = 2 + \sqrt 6 \) và \(n = 3 + \sqrt 6 \). Khi đó phương trình của \(\Delta \) là \(\dfrac{x}{{2 + \sqrt 6 }} = \dfrac{y}{{3 + \sqrt 6 }} = 1\).
Giả sử \(M=(m; 0), N=(0; n)\) với \(m, n >0\). Phương trình của \(\Delta \) là \(\dfrac{x}{m} + \dfrac{y}{n} = 1\).
\(Q \in \Delta \Rightarrow \dfrac{2}{m} + \dfrac{3}{n} = 1 \Rightarrow n = \dfrac{{3m}}{{m - 2}}\) (dễ thấy \(m \ne 2\)). Do \(n > 0\) nên \(m > 2.\)
Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có
\(\begin{array}{l}OM + ON = m + n = m + \dfrac{{3m}}{{m - 2}}\\= m - 2 + \dfrac{6}{{m - 2}} + 5\\ \ge 2\sqrt {(m - 2) \dfrac{6}{{m - 2}}} + 5 = 2\sqrt 6 + 5\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(m - 2 = \dfrac{6}{{m - 2}}\) hay \(m = 2 + \sqrt 6 \) (do \(m > 0\)).
Suy ra \(n = 3 + \sqrt 6 \). Vậy \(OM+ON\) nhỏ nhất bằng \(2\sqrt 6 + 5\) khi \(m = 2 + \sqrt 6 \) và \(n = 3 + \sqrt 6 \). Khi đó phương trình của \(\Delta \) là \(\dfrac{x}{{2 + \sqrt 6 }} = \dfrac{y}{{3 + \sqrt 6 }} = 1\).