Google
Câu hỏi: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{1}{{\sin x + \cos x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) là:
A. \(1\)
B. \(2\sqrt 2 \)
C. \(- \sqrt 2 \)
D. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
A. \(1\)
B. \(2\sqrt 2 \)
C. \(- \sqrt 2 \)
D. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Phương pháp giải
Đánh giá GTNN của hàm số, sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y = \dfrac{1}{{\sin x + \cos x}}\)\(= \dfrac{1}{{\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}\).
Có \(\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1,\forall x \in \left({0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
Do đó \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \) \(\Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}} \ge \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) hay \(y \ge \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \).
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} y = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), dấu “=” xảy ra khi \(x = \dfrac{\pi }{4}\).
Đánh giá GTNN của hàm số, sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y = \dfrac{1}{{\sin x + \cos x}}\)\(= \dfrac{1}{{\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}\).
Có \(\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1,\forall x \in \left({0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
Do đó \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \) \(\Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}} \ge \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) hay \(y \ge \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \).
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} y = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), dấu “=” xảy ra khi \(x = \dfrac{\pi }{4}\).
Đáp án D.