Bài 1.40 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau:

Câu a​

\(\sin 5x + \sin 3x = \sin 4x\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: \(\sin 5x + \sin 3x = 2\sin 4x\cos x\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\sin 5x + \sin 3x = \sin 4x\\
\Leftrightarrow 2\sin 4x\cos x = \sin 4x\\
\Leftrightarrow \sin 4x\left({2\cos x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 4x = 0\\
2\cos x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = k\pi \\
\cos x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{4}\\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {{k\pi } \over 4}, x =  \pm {\pi  \over 3} + k2\pi \)

Câu b​

\(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: \(\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x\cos x\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\\
\Leftrightarrow \left({\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow \sin 2x\left({2\cos x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 2x = 0\\
2\cos x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = k\pi \\
\cos x = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x =  \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi, x = k{\pi  \over 2}\)

Câu c​

\(\cos x + \cos 3x + 2\cos 5x = 0\)
Lời giải chi tiết:
Ta biến đổi phương trình đã cho như sau (để ý: \(\sin 4x = 4\sin x\cos x\cos 2x\)):
\(\eqalign{
& \left({\cos x + \cos 3x} \right) + 2\cos \left({x + 4x} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x + 2\left({\cos 4x\cos x - \sin 4x\sin x} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x + 2\cos 4x\cos x - 8{\sin ^2}x\cos x\cos 2x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2\cos x\left({\cos 2x + \cos 4x - 4{{\sin }^2}x\cos 2x} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2\cos x\left[ {\cos 2x + \left({2{{\cos }^2}x - 1} \right) - 2\left({1 - \cos 2x} \right)\cos 2x} \right] = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2\cos x\left({4{{\cos }^2}2x - \cos 2x - 1} \right) = 0 \cr} \)
+) \(\cos x = 0 \) \(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \)
+) \(4{\cos ^2}x - \cos 2x - 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow \cos 2x = {{1 \pm \sqrt {17} } \over 8}\)
Do \(\left| {{{1 \pm \sqrt {17} } \over 8}} \right| < 1\) nên có các số \(\alpha \) và \(\beta \) sao cho \(\cos \alpha  = {{1 - \sqrt {17} } \over 8}\) và \(\cos \beta  = {{1 + \sqrt {17} } \over 8}\). Từ đó:
\(\cos 2x = {{1 - \sqrt {17} } \over 8} \)\(\Leftrightarrow 2x =  \pm \alpha  + k2\pi \) \(\Leftrightarrow x =  \pm {\alpha  \over 2} + k\pi \)
\(\cos 2x = {{1 + \sqrt {17} } \over 8} \Leftrightarrow 2x =  \pm \beta  + k2\pi  \Leftrightarrow x =  \pm {\beta  \over 2} + k\pi \)
Kết luận: Phương trình đã cho  các  nghiệm \(x = {\pi  \over 2} + k\pi, x =  \pm {\alpha  \over 2} + k\pi \) và \(x =  \pm {\beta  \over 2} + k\pi ,\)với \(\cos \alpha  = {{1 - \sqrt {17} } \over 8}\) và \(\cos \beta  = {{1 + \sqrt {17} } \over 8}\).

Câu d​

\(\cos 22x + 3\cos 18x \)\(+ 3\cos 14x + \cos 10x = 0\)
Lời giải chi tiết:
Vế trái phương trình được biến đổi thành:
\(\eqalign{
& \left({\cos 22x + \cos 10x} \right) + 3\left({\cos 18x + \cos 14x} \right)\cr& = 2\cos 16x\cos 6x + 6\cos 16x\cos 2x \cr 
& = 2\cos 16x\left({\cos 6x + \cos 2x + 2\cos 2x} \right)\cr& = 2\cos 16x\left({2\cos 4x\cos 2x + 2\cos 2x} \right) \cr 
& = 4\cos 16x\cos 2x\left({\cos 4x + 1} \right) \cr&= 8\cos 16x{\cos ^3}2x \cr} \)
Vậy phương trình đã cho tương đương với
\(\cos 16x{\cos ^3}2x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 16x = 0 \hfill \cr 
\cos 2x = 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over {32}} + k{\pi \over {16}} \hfill \cr 
x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2} \hfill \cr} \right.\)