Bài 1.37 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Giải các phương trình sau:

Câu a​

\(2{\sin ^3}x + 4{\cos ^3}x = 3\sin x\)
Lời giải chi tiết:
Những giá trị của \(x\) mà \(\cos x = 0\) thì \(\sin x =  \pm 1\) nên không có nghiệm của phương trình đã cho .
Với \(\cos x \ne 0\) , chia hai vế của nó cho \({\cos ^3}x\) , ta được
\(\begin{array}{l}
2.\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} + 4 = 3.\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\\
2{\tan ^3}x + 4 = 3.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow 2{\tan ^3}x + 4 = 3\tan x\left({1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow {\tan ^3}x + 3\tan x - 4 = 0\\
\Leftrightarrow \left({\tan x - 1} \right)\left({{{\tan }^2}x + \tan x + 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x - 1 = 0\\
{\tan ^2}x + \tan x + 4 = 0\left({VN} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \tan x = 1\\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array}\)

Câu b​

\(3{\sin ^2}{x \over 2}\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} \)
\(= \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} + {\sin ^2}\left( {{x \over 2} + {\pi  \over 2}} \right)\cos {x \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) = \sin {x \over 2}\)
\(\sin \left( {{\pi  \over 2} + {x \over 2}} \right) = \cos {x \over 2}\)
Phương trình đã cho trở thành:
\(3{\sin ^3}{x \over 2} + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2}\)\(- \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} - {\cos ^3}{x \over 2} = 0(*)\)
Với điều kiện \(\cos {x \over 2} \ne 0\) , chia hai vế của (*) cho \({\cos ^3}{x \over 2}\) thì được phương trình
\(3{\tan ^3}{x \over 2} + 3{\tan ^2}{x \over 2} - \tan {x \over 2} - 1 = 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left({3{{\tan }^3}\frac{x}{2} - \tan \frac{x}{2}} \right) + \left({3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \tan \frac{x}{2}\left({3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) + \left({3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) = 0
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow \) \(\left( {\tan {x \over 2} + 1} \right)\left({3{{\tan }^2}{x \over 2} - 1} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} + 1 = 0\\
3{\tan ^2}\frac{x}{2} - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} = - 1\\
\tan \frac{x}{2} = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - {\pi  \over 2} + 2k\pi \) và \(x =  \pm {\pi  \over 3} + 2k\pi \).