Bài 1.39 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau:

Câu a​

\(\sin x\sin 7x = \sin 3x\sin 5x\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn. \(\sin x\sin 7x = {1 \over 2}\left( {\cos 6x - \cos 8x} \right)\)và \(\sin 3x\sin 5x = {1 \over 2}\left( {\cos 2x - \cos 8x} \right)\).
Chú ý thu gọn hai họ nghiệm thành một.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\sin x\sin 7x = \sin 3x\sin 5x\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left({\cos 6x - \cos 8x} \right) = \frac{1}{2}\left({\cos 2x - \cos 8x} \right)\\
\Leftrightarrow \cos 6x - \cos 8x = \cos 2x - \cos 8x\\
\Leftrightarrow \cos 6x = \cos 2x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
6x = 2x + k2\pi \\
6x = - 2x + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{{k\pi }}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4}
\end{array}\)
Vậy \(x = {{k\pi } \over 4}\).

Câu b​

\(\sin 5x\cos 3x = \sin 9x\cos 7x\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn . \(\sin 5x\cos 3x = {1 \over 2}(\sin 8x + \sin 2x)\) và \(\sin 9x\cos 7x = {1 \over 2}\left( {\sin 16x + \sin 2x} \right)\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\sin 5x\cos 3x = \sin 9x\cos 7x\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left({\sin 8x + \sin 2x} \right) = \frac{1}{2}\left({\sin 16x + \sin 2x} \right)\\
\Leftrightarrow \sin 8x + \sin 2x = \sin 16x + \sin 2x\\
\Leftrightarrow \sin 16x = \sin 8x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
16x = 8x + k2\pi \\
16x = \pi - 8x + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{4}\\
x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{{12}}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {{k\pi } \over 4}, x = {\pi  \over {24}} + {{k\pi } \over {12}}\).

Câu c​

\(\cos x\cos 3x - \sin 2x\sin 6x \)\(- \sin 4x\sin 6x = 0\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn.
\(\cos x\cos 3x = {1 \over 2}\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right),\)
\(\sin 2x\sin 6x \)\(= {1 \over 2}\left( {\cos 4x - \cos 8x} \right)\) và \(\sin 4x\sin 6x = {1 \over 2}\left( {\cos 2x - \cos 10x} \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(\cos x\cos 3x - \sin 2x\sin 6x \)\(- \sin 4x\sin 6x = 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left({\cos 4x + \cos 2x} \right) - \frac{1}{2}\left({\cos 4x - \cos 8x} \right)\\
- \frac{1}{2}\left({\cos 2x - \cos 10x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos 4x + \cos 2x - \cos 4x + \cos 8x\\
- \cos 2x + \cos 10x = 0\\
\Leftrightarrow \cos 8x + \cos 10x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos x\cos 9x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos 9x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k\pi }}{9}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi  \over 2} + k\pi; x = {\pi  \over {18}} + {{k\pi } \over 9}\)

Câu d​

\(\sin 4x\sin 5x + \sin 4x\sin 3x \)\(- \sin 2x\sin x = 0\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn. Biến đổi phương trình đã cho như sau:
\(\eqalign{
& \sin 4x\sin 5x + \sin 4x\sin 3x - \sin 2x\sin x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin 4x\sin 5x \cr&+ {1 \over 2}\left({\cos x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin 4x\sin 5x + \sin 5x\sin 2x = 0 \cr&\Leftrightarrow \sin 5x(\sin 4x + \sin 2x) = 0 \cr} \)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \sin 4x\sin 5x + \sin 4x\sin 3x - \sin 2x\sin x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin 4x\sin 5x \cr&+ {1 \over 2}\left({\cos x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin 4x\sin 5x + \sin 5x\sin 2x = 0\cr& \Leftrightarrow \sin 5x(\sin 4x + \sin 2x) = 0 \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sin 5x. 2\sin 3x\cos x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 5x = 0\\
\sin 3x = 0\\
\cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = k\pi \\
3x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{5}\\
x = \frac{{k\pi }}{3}\\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)