Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ \(ABC. A’B’C’\) có đáy là tam giác vuông cân ở \(C\). Cạnh \(B’B = a\) và tạo với đáy một góc bằng \({60^0}\). Hình chiếu vuông góc hạ từ \(B’\) lên đáy trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC\). Tính thể tích khối lăng trụ đó theo \(a\).
Phương pháp giải
- Xác định góc giữa \(BB'\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) (góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên mặt phẳng).
- Tính diện tích đáy và chiều cao của hình lăng trụ.
- Tính thể tích lăng trụ theo công thức \(V = Bh\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), khi đó \(\widehat {B'BG} = {60^0}\)
\(\Rightarrow B'G = BB'\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\) \(BG = BB'\cos {60^0} = \dfrac{a}{2}\).
Gọi \(D\) là trung điểm của \(AC\), khi đó \(BD = \dfrac{3}{2}BG = \dfrac{{3a}}{4}\).
Ta có \(B{C^2} + C{D^2} = B{D^2}\), do đó \(B{C^2} + \dfrac{{B{C^2}}}{4} = \dfrac{{5B{C^2}}}{4} = \dfrac{{9{a^2}}}{{16}}\)
Suy ra \(B{C^2} = \dfrac{9}{{20}}{a^2},{S_{ABC}} = \dfrac{{B{C^2}}}{2} = \dfrac{9}{{40}}{a^2}\); \({V_{ABC. A'B'C'}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{9{a^2}}}{{40}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{80}}{a^3}\)
- Xác định góc giữa \(BB'\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) (góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên mặt phẳng).
- Tính diện tích đáy và chiều cao của hình lăng trụ.
- Tính thể tích lăng trụ theo công thức \(V = Bh\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), khi đó \(\widehat {B'BG} = {60^0}\)
\(\Rightarrow B'G = BB'\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\) \(BG = BB'\cos {60^0} = \dfrac{a}{2}\).
Gọi \(D\) là trung điểm của \(AC\), khi đó \(BD = \dfrac{3}{2}BG = \dfrac{{3a}}{4}\).
Ta có \(B{C^2} + C{D^2} = B{D^2}\), do đó \(B{C^2} + \dfrac{{B{C^2}}}{4} = \dfrac{{5B{C^2}}}{4} = \dfrac{{9{a^2}}}{{16}}\)
Suy ra \(B{C^2} = \dfrac{9}{{20}}{a^2},{S_{ABC}} = \dfrac{{B{C^2}}}{2} = \dfrac{9}{{40}}{a^2}\); \({V_{ABC. A'B'C'}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{9{a^2}}}{{40}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{80}}{a^3}\)