Google
Câu hỏi: Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng một lăng trụ đứng (h. 1.2). Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20m, rộng 5m. Gọi x (mét) là độ dài cạnh BC.
Lời giải chi tiết:
Tam giác ABC có \(AB = AC = 5, BC = x\).
Nửa chu vi: \(p = \frac{{5 + 5 + x}}{2} = \frac{{10 + x}}{2}\)
Diện tích:
\(\begin{array}{l}{S_{ABC}}\\ = \sqrt {\frac{{10 + x}}{2}\left( {\frac{{10 + x}}{2} - x} \right)\left({\frac{{10 + x}}{2} - 5} \right)\left({\frac{{10 + x}}{2} - 5} \right)} \\ = \sqrt {\frac{{10 + x}}{2}.\frac{{10 - x}}{2}.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}} \\ = \frac{x}{4}\sqrt {100 - {x^2}} \end{array}\)
Thể tích lăng trụ:
\(V = {S_{ABC}}. AA' = \frac{x}{4}\sqrt {100 - {x^2}} . 20\) \(= 5x\sqrt {100 - {x^2}} \)
Vậy \(V = 5x\sqrt {100 - {x^2}}(m^3) ,\) \(0 < x < 10\)
Lời giải chi tiết:
Xét hàm \(V\left( x \right) = 5x\sqrt {100 - {x^2}} \) trên \(\left( {0; 10} \right)\) có:
\(\begin{array}{l}V'\left( x \right) = 5\sqrt {100 - {x^2}} + 5x.\frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = 5\sqrt {100 - {x^2}} - \frac{{5{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = \frac{{5\left({100 - {x^2}} \right) - 5{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = \frac{{500 - 10{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\V'\left(x \right) = 0 \Leftrightarrow 500 - 10{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = 50 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\sqrt 2 \in \left({0; 10} \right)\\x = - 5\sqrt 2 \notin \left({0; 10} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Do đó hình lăng trụ có thể tích lớn nhất khi \(x = 5\sqrt 2 \) (m)
\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left( {0; 10} \right)} {\rm{V = V}}\left({5\sqrt 2 } \right)=250(m^3)\)
Câu a
Tính thể tích V của hình lăng trụ theo xLời giải chi tiết:
Tam giác ABC có \(AB = AC = 5, BC = x\).
Nửa chu vi: \(p = \frac{{5 + 5 + x}}{2} = \frac{{10 + x}}{2}\)
Diện tích:
\(\begin{array}{l}{S_{ABC}}\\ = \sqrt {\frac{{10 + x}}{2}\left( {\frac{{10 + x}}{2} - x} \right)\left({\frac{{10 + x}}{2} - 5} \right)\left({\frac{{10 + x}}{2} - 5} \right)} \\ = \sqrt {\frac{{10 + x}}{2}.\frac{{10 - x}}{2}.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}} \\ = \frac{x}{4}\sqrt {100 - {x^2}} \end{array}\)
Thể tích lăng trụ:
\(V = {S_{ABC}}. AA' = \frac{x}{4}\sqrt {100 - {x^2}} . 20\) \(= 5x\sqrt {100 - {x^2}} \)
Vậy \(V = 5x\sqrt {100 - {x^2}}(m^3) ,\) \(0 < x < 10\)
Câu b
Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.Lời giải chi tiết:
Xét hàm \(V\left( x \right) = 5x\sqrt {100 - {x^2}} \) trên \(\left( {0; 10} \right)\) có:
\(\begin{array}{l}V'\left( x \right) = 5\sqrt {100 - {x^2}} + 5x.\frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = 5\sqrt {100 - {x^2}} - \frac{{5{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = \frac{{5\left({100 - {x^2}} \right) - 5{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = \frac{{500 - 10{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\V'\left(x \right) = 0 \Leftrightarrow 500 - 10{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = 50 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\sqrt 2 \in \left({0; 10} \right)\\x = - 5\sqrt 2 \notin \left({0; 10} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Do đó hình lăng trụ có thể tích lớn nhất khi \(x = 5\sqrt 2 \) (m)
\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left( {0; 10} \right)} {\rm{V = V}}\left({5\sqrt 2 } \right)=250(m^3)\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!