Bài 1.21 trang 13 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:

Câu a​

\(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1\) trên đoạn [-4; 4]
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
f'\left(x \right) = 3{x^2} + 6x - 9\\
f'\left(x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x - 9 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \in \left[ { - 4; 4} \right]\\
x = - 3 \in \left[ { - 4; 4} \right]
\end{array} \right.\\
f\left({ - 4} \right) = 21, f\left(4 \right) = 77\\
f\left(1 \right) = - 4, f\left({ - 3} \right) = 28
\end{array}\)
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 4; 4} \right]} f(x) = f(1) = - 4;\)
\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ { - 4; 4} \right]} {\rm{ }}f(x){\rm{ }} = f(4) = 77\)

Câu b​

\(f(x) = {x^3} + 5x - 4\) trên đoạn [-3; 1]
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) hay cũng đồng biến trên \(\left[ { - 3; 1} \right]\).
\(\Rightarrow \)\(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 3; 1} \right]} f(x) = f(- 3) = - 46;\)
\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 3; 1} \right]} f(x) = f(1) = 2\)

Câu c​

\(f(x) = {x^4} - 8{x^2} + 16\) trên đoạn [-1; 3]
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
f'\left(x \right) = 4{x^3} - 16x\\
f'\left(x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 16x = 0\\
\Leftrightarrow 2x\left({{x^2} - 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \in \left[ { - 1; 3} \right]\\
x = 2 \in \left[ { - 1; 3} \right]\\
x = - 2 \notin \left[ { - 1; 3} \right]
\end{array} \right.\\
f\left({ - 1} \right) = 9, f\left(3 \right) = 25\\
f\left(0 \right) = 16, f\left(2 \right) = 0
\end{array}\)
Vậy:
\(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1; 3} \right]} f(x) = f(2) = 0\)
\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1; 3} \right]} f(x) = f(3) = 25\)

Câu d​

\(f(x) = {x \over {x + 2}}\) trên nửa khoảng (-2; 4]
Lời giải chi tiết:
\(f'(x) = {2 \over {{{\left({x + 2} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne 2\).
Hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left( { - 2; 4} \right]\)
BBT:

\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( { - 2; 4} \right]} f(x) = f(4) = {2 \over 3}\).
Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng \(\left( {-2; 4} \right]\).

Câu e​

\(f(x) = x + 2 + {1 \over {x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
f'\left(x \right) = 1 - \frac{1}{{{{\left({x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left({x - 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left({x - 1} \right)}^2}}}\\
f'\left(x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left({x - 1} \right)^2} = 1\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 1\\
x - 1 = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2 \in \left({1; + \infty } \right)\\
x = 0 \notin \left({1; + \infty } \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
BBT:

Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)
\(\mathop {\min f}\limits_{x \in \left( {1; + \infty } \right)} (x) = f(2) = 5\)

Câu f​

\(f\left( x \right) = x\sqrt {1 - {x^2}} \)
Lời giải chi tiết:
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1; 1} \right]\)
\(f'\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} - {{{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\)\(= {{1 - 2x^2} \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\) với -1 < x < 1
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\)
BBT:

\(\mathop {\min }\limits_{x \in \left( { - 1; 1} \right)} f(x) = f(- {{\sqrt 2 } \over 2}) = -{1 \over 2};\)
\(\mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{x \in \left( { - 1; 1} \right)} {\rm{ }}f(x) = f({{\sqrt 2 } \over 2}) = {1 \over 2}\)