Xét tất cả các số thực $x,y$ sao cho ${{49}^{9-{{y}^{2}}}}\ge...

Lấy loga cơ số $7$ hai vế của bất phương trình ${{49}^{9-{{y}^{2}}}}\ge {{a}^{4x-{{\log }_{7}}{{a}^{2}}}}$ ta được
$2\left( 9-{{y}^{2}} \right)\ge \left( 4x-2{{\log }_{7}}a \right){{\log }_{7}}a$ $\Leftrightarrow -{{\left( {{\log }_{7}}a \right)}^{2}}+2x.{{\log }_{7}}a+{{y}^{2}}-9\le 0$.
Đặt $t={{\log }_{7}}a$ ; $t\in \mathbb{R}$.
Khi đó ta có bất phương trình $-{{t}^{2}}+2x.t+{{y}^{2}}-9\le 0$ nghiệm đúng với mọi $t$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-9\le 0 \\
& -1<0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 9$.
Khi đó $P=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+\left( 4x-3y \right)\le 9+\sqrt{25\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}\le 9+\sqrt{25.9}=24$.
Vậy $\max P=24$ khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9 \\
& \dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{-3} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=-\dfrac{3}{4}x \\
& {{x}^{2}}+\dfrac{9}{16}{{x}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=\mp \dfrac{9}{5} \\
& x=\pm \dfrac{12}{5} \\
\end{aligned} \right.$.