Xét các số thực $x,y$ sao cho $27{{y}^{2}}+lo{{g}_{216}}{{\left(...

Ta có $27{{y}^{2}}+\text{lo}{{\text{g}}_{216}}{{({{a}^{18x-\text{lo}{{\text{g}}_{6}}{{a}^{3}}}})}^{3}}\le 783\Leftrightarrow 9{{y}^{2}}+\left( 6x-{{\log }_{6}}a \right)\left( {{\log }_{6}}a \right)-261\le 0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \log _{6}^{2}a-6x{{\log }_{6}}a-9{{y}^{2}}+261\ge 0 , \forall a>0 \\
& \Leftrightarrow {\Delta }'=9{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}-261\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 29 \\
\end{aligned}$
$K={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+5y={{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}+5y+\dfrac{25}{4}-\dfrac{29}{4}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{29}{4}$.
Gọi $M(x;y)$ thuộc hình tròn tâm $O(0;0),R=\sqrt{29}$, suy ra $K=M{{A}^{2}}-\dfrac{29}{4}$ với $A\left( 1;-\dfrac{5}{2} \right)$
Ta có $OA=\dfrac{\sqrt{29}}{2}$
$MA$ lớn nhất khi $M$ trùng $D$, suy ra $M{{A}^{2}}=A{{D}^{2}}={{\left( OA+R \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{\sqrt{29}}{2}+\sqrt{29} \right)}^{2}}=\dfrac{9.29}{4}$
$MA$ nhỏ nhất khi $M$ trùng $E$, suy ra $M{{A}^{2}}=A{{E}^{2}}={{\left( R-OA \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{29}-\dfrac{\sqrt{29}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{29}{4}$
Suy ra $0\le K\le 58$, vậy có tối đa $58$ số nguyên dương của $K$.