Google
Câu hỏi: Xét các số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thoả mãn $\left| z-2-2i \right|=2$. Đặt $a=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$. Tìm $a$ sao cho $P=\left| {{z}_{1}}-i{{z}_{2}} \right|$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $a=2$.
B. $a=2\sqrt{3}$.
C. $a=4$.
D. $a=2\sqrt{2}$.
A. $a=2$.
B. $a=2\sqrt{3}$.
C. $a=4$.
D. $a=2\sqrt{2}$.
Đặt $w=z-2-2i\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| w \right|=2 \\
& z=w+2+2i \\
\end{aligned} \right. $, suy ra tập hợp các số phức $ w $ nằm trên đường tròn tâm $ O $ bán kính $ R=2$.
Ta có $P=\left| {{z}_{1}}-i{{z}_{2}} \right|=\left| {{w}_{1}}-i{{w}_{2}}+4 \right|\le \left| {{w}_{1}}-i{{w}_{2}} \right|+4$.
Gọi $A,B,C$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức ${{w}_{1}},{{w}_{2}}$ và $i{{w}_{2}}$.
Khi đó $\overrightarrow{OB}\bot \overrightarrow{OC}; a=AB=\left| {{w}_{1}}-{{w}_{2}} \right|$ và $\left| {{w}_{1}}-i{{w}_{2}} \right|=AC$ với $C$ thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $R=2$.
Vậy $P\le \left| {{w}_{1}}-i{{w}_{2}} \right|+4$ lớn nhất khi $A,O,C$ thẳng hàng, hay $\overrightarrow{OA}\bot \overrightarrow{OB}$. Vậy $a=AB=2\sqrt{2}$.
& \left| w \right|=2 \\
& z=w+2+2i \\
\end{aligned} \right. $, suy ra tập hợp các số phức $ w $ nằm trên đường tròn tâm $ O $ bán kính $ R=2$.
Ta có $P=\left| {{z}_{1}}-i{{z}_{2}} \right|=\left| {{w}_{1}}-i{{w}_{2}}+4 \right|\le \left| {{w}_{1}}-i{{w}_{2}} \right|+4$.
Gọi $A,B,C$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức ${{w}_{1}},{{w}_{2}}$ và $i{{w}_{2}}$.
Vậy $P\le \left| {{w}_{1}}-i{{w}_{2}} \right|+4$ lớn nhất khi $A,O,C$ thẳng hàng, hay $\overrightarrow{OA}\bot \overrightarrow{OB}$. Vậy $a=AB=2\sqrt{2}$.
Đáp án D.