Google
Câu hỏi: Trong tập hợp số phức, cho các số phức ${{z}_{1}},{{\text{z}}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=2,\left| \text{i}{{\text{z}}_{2}}-2+5i \right|=1$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}^{2}-{{\text{z}}_{1}}{{z}_{2}}-4 \right|$ bằng
A. $2\left( \sqrt{29}-3 \right)$.
B. $4$.
C. $8$.
D. $2\left( \sqrt{29}-5 \right)$.
A. $2\left( \sqrt{29}-3 \right)$.
B. $4$.
C. $8$.
D. $2\left( \sqrt{29}-5 \right)$.
Đặt $z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có $\left| {{z}_{1}} \right|=2\Leftrightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}=4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\Rightarrow y\in \left[ -2;2 \right]$.
$\left| \text{i}{{\text{z}}_{2}}-2+5i \right|=1\Leftrightarrow \left| i \right|\left| {{\text{z}}_{2}}+5+2i \right|=1\Leftrightarrow \left| {{\text{z}}_{2}}+5+2i \right|=1$
Mặt khác $\left| {{z}_{1}}^{2}-{{\text{z}}_{1}}{{z}_{2}}-4 \right|=\left| {{z}_{1}}^{2}-{{\text{z}}_{1}}{{z}_{2}}-{{\text{z}}_{1}}\overline{{{z}_{1}}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-\overline{{{z}_{1}}} \right|=2\left| 2yi-{{z}_{2}} \right|$
$=2\left| 5+2\left( y+1 \right)i-\left( {{\text{z}}_{2}}+5+2i \right) \right|\ge 2\left| \left| 5+2\left( y+1 \right)i \right|-\left| {{\text{z}}_{2}}+5+2i \right| \right|=2\left( \sqrt{25+4{{\left( y+1 \right)}^{2}}}-1 \right)$.
Do $-2\le y\le 2\Rightarrow -1\le y+1\le 3\Rightarrow 2{{\left( y+1 \right)}^{2}}\ge 0$. Suy ra $\left| {{z}_{1}}^{2}-{{\text{z}}_{1}}{{z}_{2}}-4 \right|\ge 8$.
Dấu bằng có xảy ra chẳng hạn khi ${{z}_{1}}=\sqrt{3}-i,{{\text{z}}_{2}}=-4-2i$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}^{2}-{{\text{z}}_{1}}{{z}_{2}}-4 \right|$ bằng $8$.
Ta có $\left| {{z}_{1}} \right|=2\Leftrightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}=4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\Rightarrow y\in \left[ -2;2 \right]$.
$\left| \text{i}{{\text{z}}_{2}}-2+5i \right|=1\Leftrightarrow \left| i \right|\left| {{\text{z}}_{2}}+5+2i \right|=1\Leftrightarrow \left| {{\text{z}}_{2}}+5+2i \right|=1$
Mặt khác $\left| {{z}_{1}}^{2}-{{\text{z}}_{1}}{{z}_{2}}-4 \right|=\left| {{z}_{1}}^{2}-{{\text{z}}_{1}}{{z}_{2}}-{{\text{z}}_{1}}\overline{{{z}_{1}}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}}-\overline{{{z}_{1}}} \right|=2\left| 2yi-{{z}_{2}} \right|$
$=2\left| 5+2\left( y+1 \right)i-\left( {{\text{z}}_{2}}+5+2i \right) \right|\ge 2\left| \left| 5+2\left( y+1 \right)i \right|-\left| {{\text{z}}_{2}}+5+2i \right| \right|=2\left( \sqrt{25+4{{\left( y+1 \right)}^{2}}}-1 \right)$.
Do $-2\le y\le 2\Rightarrow -1\le y+1\le 3\Rightarrow 2{{\left( y+1 \right)}^{2}}\ge 0$. Suy ra $\left| {{z}_{1}}^{2}-{{\text{z}}_{1}}{{z}_{2}}-4 \right|\ge 8$.
Dấu bằng có xảy ra chẳng hạn khi ${{z}_{1}}=\sqrt{3}-i,{{\text{z}}_{2}}=-4-2i$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}^{2}-{{\text{z}}_{1}}{{z}_{2}}-4 \right|$ bằng $8$.
Đáp án C.