Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $z$ sao cho số phức $w=\dfrac{1}{|z|-z}$ có phần thực bằng $\dfrac{1}{8}$. Xét các số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}\in S$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2$, giá trị lớn nhất của $P={{\left| {{z}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}-5i \right|}^{2}}$ bằng
A. $16.$
B. $20$.
C. $10$.
D. $32$.
A. $16.$
B. $20$.
C. $10$.
D. $32$.
Cách 1:
Gọi $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$. Do $w=\dfrac{1}{\left| z \right|-z}$ nên $\left| z \right|-z\ne 0$.
Ta có: $w=\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x-yi}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x+yi}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$
nên theo giả thiết ta có: $\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{1}{8}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x \right)}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=4$. $\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x\ne 0 \right)$
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm là gốc tọa độ $O$, bán kính $r=4$ (bỏ đi điểm $\left( 4;0 \right)$ ). Giả sử hai điểm $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thì $A,B$ thuộc đường tròn $\left( O;4 \right)$ nên: $OA=OB=4$.
Vì: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow AB=2$. Gọi $I\left( 0;5 \right),IO=5$, $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì khi đó $OK\bot AB$, ta có:
$P={{\left| {{z}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}-5i \right|}^{2}}=A{{I}^{2}}-B{{I}^{2}}={{\overrightarrow{IA}}^{2}}-{{\overrightarrow{IB}}^{2}}=\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB} \right)\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)=2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{IK}$
$=2\overrightarrow{BA}\left( \overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OK} \right)=2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{IO}=2BA.IO.\cos \left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{IO} \right)\le 2BA.IO=20$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $2$ vecto $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{IO}$ cùng hướng.
Vậy $P={{\left| {{z}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}-5i \right|}^{2}}$ có giá trị lớn nhất là $20$.
Cách 2:
Điều kiện: $\left| z \right|-z\ne 0\Leftrightarrow \left| z \right|\ne z$ (*).
Đặt $z=x+yi$, ta có: $w=\dfrac{1}{\left| z \right|-z}=\dfrac{\left| z \right|-\overline{z}}{\left( \left| z \right|-z \right)\left( \left| z \right|-\overline{z} \right)}=\dfrac{\left| z \right|-x}{\left( \left| z \right|-z \right)\left( \left| z \right|-\overline{z} \right)}+\dfrac{yi}{\left( \left| z \right|-z \right)\left( \left| z \right|-\overline{z} \right)}$.
Vì $w$ có phần thực bằng $\dfrac{1}{8}$ $\Rightarrow \dfrac{\left| z \right|-x}{\left( \left| z \right|-z \right)\left( \left| z \right|-\overline{z} \right)}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \dfrac{\left| z \right|-x}{2{{\left| z \right|}^{2}}-2x\left| z \right|}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \dfrac{\left| z \right|-x}{\left( \left| z \right|-x \right)\left| z \right|}=\dfrac{1}{4}$ (1).
Từ điều kiện (*) suy ra: $\left| z \right|-x\ne 0$. Do đó: $(1)\Leftrightarrow \left| z \right|=4$.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm là gốc tọa độ $O$, bán kính $r=4$ (bỏ đi điểm $\left( 4;0 \right)$ ). Giả sử hai điểm $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thì $A,B$ thuộc đường tròn $\left( O;4 \right)$ nên: $OA=OB=4$.
Vì: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow AB=2$. Gọi $I\left( 0;5 \right),IO=5$, $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì khi đó $OK\bot AB$, ta có:
$P={{\left| {{z}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}-5i \right|}^{2}}=A{{I}^{2}}-B{{I}^{2}}={{\overrightarrow{IA}}^{2}}-{{\overrightarrow{IB}}^{2}}=\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB} \right)\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)=2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{IK}$
$=2\overrightarrow{BA}\left( \overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OK} \right)=2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{IO}=2BA.IO.\cos \left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{IO} \right)\le 2BA.IO=20$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $2$ vecto $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{IO}$ cùng hướng.
Vậy $P={{\left| {{z}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}-5i \right|}^{2}}$ có giá trị lớn nhất là $20$.
Cách 3:
Điều kiện: $\left| z \right|-z\ne 0\Leftrightarrow \left| z \right|\ne z$ (*).
Ta có: $w+\overline{w}=\dfrac{1}{\left| z \right|-z}+\dfrac{1}{\left| z \right|-\overline{z}}=\dfrac{\left| z \right|-\overline{z}+|z|-z}{\left( \left| z \right|-z \right)\left( \left| z \right|-\overline{z} \right)}=\dfrac{2\left| z \right|-\overline{z}-z}{{{\left| z \right|}^{2}}-\left| z \right|\left( \overline{z}+z \right)+{{\left| z \right|}^{2}}}=\dfrac{1}{\left| z \right|}$.
Vì $w=\dfrac{1}{|z|-z}$ có phần thực bằng $\dfrac{1}{8}$ nên $w+\overline{w}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\left| z \right|}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \left| z \right|=4$.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm là gốc tọa độ $O$, bán kính $r=4$ (bỏ đi điểm $\left( 4;0 \right)$ ). Giả sử hai điểm $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thì: $A,B$ thuộc đường tròn $\left( O;4 \right)$ nên: $OA=OB=4$.
Vì: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow AB=2$. Gọi $I\left( 0;5 \right),IO=5$, $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì khi đó $OK\bot AB$, ta có:
$P={{\left| {{z}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}-5i \right|}^{2}}=A{{I}^{2}}-B{{I}^{2}}={{\overrightarrow{IA}}^{2}}-{{\overrightarrow{IB}}^{2}}=\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB} \right)\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)=2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{IK}$
$=2\overrightarrow{BA}\left( \overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OK} \right)=2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{IO}=2BA.IO.\cos \left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{IO} \right)\le 2BA.IO=20$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $2$ vecto $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{IO}$ cùng hướng.
Vậy $P={{\left| {{z}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}-5i \right|}^{2}}$ có giá trị lớn nhất là $20$.
Gọi $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$. Do $w=\dfrac{1}{\left| z \right|-z}$ nên $\left| z \right|-z\ne 0$.
Ta có: $w=\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x-yi}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x+yi}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$
nên theo giả thiết ta có: $\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{1}{8}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x \right)}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=4$. $\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x\ne 0 \right)$
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm là gốc tọa độ $O$, bán kính $r=4$ (bỏ đi điểm $\left( 4;0 \right)$ ). Giả sử hai điểm $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thì $A,B$ thuộc đường tròn $\left( O;4 \right)$ nên: $OA=OB=4$.
Vì: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow AB=2$. Gọi $I\left( 0;5 \right),IO=5$, $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì khi đó $OK\bot AB$, ta có:
$P={{\left| {{z}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}-5i \right|}^{2}}=A{{I}^{2}}-B{{I}^{2}}={{\overrightarrow{IA}}^{2}}-{{\overrightarrow{IB}}^{2}}=\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB} \right)\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)=2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{IK}$
$=2\overrightarrow{BA}\left( \overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OK} \right)=2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{IO}=2BA.IO.\cos \left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{IO} \right)\le 2BA.IO=20$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $2$ vecto $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{IO}$ cùng hướng.
Vậy $P={{\left| {{z}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}-5i \right|}^{2}}$ có giá trị lớn nhất là $20$.
Cách 2:
Điều kiện: $\left| z \right|-z\ne 0\Leftrightarrow \left| z \right|\ne z$ (*).
Đặt $z=x+yi$, ta có: $w=\dfrac{1}{\left| z \right|-z}=\dfrac{\left| z \right|-\overline{z}}{\left( \left| z \right|-z \right)\left( \left| z \right|-\overline{z} \right)}=\dfrac{\left| z \right|-x}{\left( \left| z \right|-z \right)\left( \left| z \right|-\overline{z} \right)}+\dfrac{yi}{\left( \left| z \right|-z \right)\left( \left| z \right|-\overline{z} \right)}$.
Vì $w$ có phần thực bằng $\dfrac{1}{8}$ $\Rightarrow \dfrac{\left| z \right|-x}{\left( \left| z \right|-z \right)\left( \left| z \right|-\overline{z} \right)}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \dfrac{\left| z \right|-x}{2{{\left| z \right|}^{2}}-2x\left| z \right|}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \dfrac{\left| z \right|-x}{\left( \left| z \right|-x \right)\left| z \right|}=\dfrac{1}{4}$ (1).
Từ điều kiện (*) suy ra: $\left| z \right|-x\ne 0$. Do đó: $(1)\Leftrightarrow \left| z \right|=4$.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm là gốc tọa độ $O$, bán kính $r=4$ (bỏ đi điểm $\left( 4;0 \right)$ ). Giả sử hai điểm $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thì $A,B$ thuộc đường tròn $\left( O;4 \right)$ nên: $OA=OB=4$.
Vì: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow AB=2$. Gọi $I\left( 0;5 \right),IO=5$, $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì khi đó $OK\bot AB$, ta có:
$P={{\left| {{z}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}-5i \right|}^{2}}=A{{I}^{2}}-B{{I}^{2}}={{\overrightarrow{IA}}^{2}}-{{\overrightarrow{IB}}^{2}}=\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB} \right)\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)=2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{IK}$
$=2\overrightarrow{BA}\left( \overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OK} \right)=2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{IO}=2BA.IO.\cos \left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{IO} \right)\le 2BA.IO=20$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $2$ vecto $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{IO}$ cùng hướng.
Vậy $P={{\left| {{z}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}-5i \right|}^{2}}$ có giá trị lớn nhất là $20$.
Cách 3:
Điều kiện: $\left| z \right|-z\ne 0\Leftrightarrow \left| z \right|\ne z$ (*).
Ta có: $w+\overline{w}=\dfrac{1}{\left| z \right|-z}+\dfrac{1}{\left| z \right|-\overline{z}}=\dfrac{\left| z \right|-\overline{z}+|z|-z}{\left( \left| z \right|-z \right)\left( \left| z \right|-\overline{z} \right)}=\dfrac{2\left| z \right|-\overline{z}-z}{{{\left| z \right|}^{2}}-\left| z \right|\left( \overline{z}+z \right)+{{\left| z \right|}^{2}}}=\dfrac{1}{\left| z \right|}$.
Vì $w=\dfrac{1}{|z|-z}$ có phần thực bằng $\dfrac{1}{8}$ nên $w+\overline{w}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\left| z \right|}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \left| z \right|=4$.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm là gốc tọa độ $O$, bán kính $r=4$ (bỏ đi điểm $\left( 4;0 \right)$ ). Giả sử hai điểm $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thì: $A,B$ thuộc đường tròn $\left( O;4 \right)$ nên: $OA=OB=4$.
Vì: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow AB=2$. Gọi $I\left( 0;5 \right),IO=5$, $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì khi đó $OK\bot AB$, ta có:
$P={{\left| {{z}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}-5i \right|}^{2}}=A{{I}^{2}}-B{{I}^{2}}={{\overrightarrow{IA}}^{2}}-{{\overrightarrow{IB}}^{2}}=\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB} \right)\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)=2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{IK}$
$=2\overrightarrow{BA}\left( \overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OK} \right)=2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{IO}=2BA.IO.\cos \left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{IO} \right)\le 2BA.IO=20$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $2$ vecto $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{IO}$ cùng hướng.
Vậy $P={{\left| {{z}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}-5i \right|}^{2}}$ có giá trị lớn nhất là $20$.
Đáp án B.