Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $\text{w}=2z-5+i$ sao cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( z-3+i \right)\left( \overline{z}-3-i \right)=36$. Xét số phức ${{\text{w}}_{1}} ; {{\text{w}}_{2}}\in S$ thỏa mãn $\left| {{\text{w}}_{1}}\text{- }{{\text{w}}_{2}} \right|=2$. Giá trị lớn nhất của $P={{\left| {{\text{w}}_{1}}-5i \right|}^{2}}-{{\left| {{\text{w}}_{2}}-5i \right|}^{2}}$ bằng
A. $4\sqrt{37}$.
B. $5\sqrt{17}$.
C. $7\sqrt{13}$.
D. $20$.
A. $4\sqrt{37}$.
B. $5\sqrt{17}$.
C. $7\sqrt{13}$.
D. $20$.
Ta có: $\text{w}=2z-5+i\Leftrightarrow z=\dfrac{\text{w}+5-i}{2}$. Đặt $\text{w}=x+yi \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$
$\left( z-3+i \right)\left( \overline{z}-3-i \right)=36$
$\Leftrightarrow \left( \dfrac{\text{w}+5-i}{2}-3+i \right).\left( \dfrac{\overline{\text{w}}+5+i}{2}-3-i \right)=36$
$\Leftrightarrow \left( \text{w}-1+i \right)\left( \overline{\text{w}}-1-i \right)=144$
$\Leftrightarrow \left[ \left( x-1 \right)+\left( y+1 \right)i \right].\left[ \left( x-1 \right)-\left( y+1 \right)i \right]=144$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=144$.
Tập hợp điểm biễu diễn của $\text{w}$ là đường tròn tâm $I\left( 1 ; -1 \right)$, bán kính $R=12$.
Gọi $A , B$ là điểm biễu diễn của số phức ${{\text{w}}_{1}} , {{\text{w}}_{2}}$, $M\left( 0 ; 5 \right)$.
Ta có: $P=M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}$ $={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$ $=I{{A}^{2}}-I{{B}^{2}}+2.\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB} \right)=2.\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{BA}=2.\sqrt{17}.2.\cos \left( \overrightarrow{MI},\overrightarrow{BA} \right)$
$P$ đạt giá trị lớn nhất $\Leftrightarrow \cos \left( \overrightarrow{BA} , \overrightarrow{MI} \right)=1$.
Giá trị lớn nhất của $P$ là: $4\sqrt{17}$.
$\left( z-3+i \right)\left( \overline{z}-3-i \right)=36$
$\Leftrightarrow \left( \dfrac{\text{w}+5-i}{2}-3+i \right).\left( \dfrac{\overline{\text{w}}+5+i}{2}-3-i \right)=36$
$\Leftrightarrow \left( \text{w}-1+i \right)\left( \overline{\text{w}}-1-i \right)=144$
$\Leftrightarrow \left[ \left( x-1 \right)+\left( y+1 \right)i \right].\left[ \left( x-1 \right)-\left( y+1 \right)i \right]=144$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=144$.
Tập hợp điểm biễu diễn của $\text{w}$ là đường tròn tâm $I\left( 1 ; -1 \right)$, bán kính $R=12$.
Gọi $A , B$ là điểm biễu diễn của số phức ${{\text{w}}_{1}} , {{\text{w}}_{2}}$, $M\left( 0 ; 5 \right)$.
Ta có: $P=M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}$ $={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$ $=I{{A}^{2}}-I{{B}^{2}}+2.\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB} \right)=2.\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{BA}=2.\sqrt{17}.2.\cos \left( \overrightarrow{MI},\overrightarrow{BA} \right)$
$P$ đạt giá trị lớn nhất $\Leftrightarrow \cos \left( \overrightarrow{BA} , \overrightarrow{MI} \right)=1$.
Giá trị lớn nhất của $P$ là: $4\sqrt{17}$.
Đáp án A.