Google
Câu hỏi: Trong mặt phằng tọa độ $Oxy$, cho Parabol $(P): y=x^2$ và hai điềm $A,B$ thuộc $(P)$ sao cho $A B=2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bời $(P)$ và đường thẳng $AB$ đạt giá trị lớn nhất bằng
A. $\dfrac{3}{2}$.
B. $\dfrac{3}{4}$.
C. $\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{4}{3}$.
A. $\dfrac{3}{2}$.
B. $\dfrac{3}{4}$.
C. $\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{4}{3}$.
Gọi $A\left(a ; a^2\right), B\left(b ; b^2\right)$ với $a<b$. Ta có $A B=2 \Leftrightarrow(b-a)^2+\left(b^2-a^2\right)^2=4$
$A B: \dfrac{x-a}{b-a}=\dfrac{y-a^2}{b^2-a^2} \Leftrightarrow \dfrac{x-a}{1}=\dfrac{y-a^2}{b+a} \Leftrightarrow y=(a+b)(x-a)+a^2 \Leftrightarrow y=(a+b) x-a b$
$S=\int_a^b\left((a+b) x-a b-x^2\right) d x=\int_a^b(x-a)(b-x) d x$
Đặt $t=x-a.$ $S=\int_{0}^{b-a}{t}(b-a-t)dt=\int_{0}^{b-a}{\left( t(b-a)-{{t}^{2}} \right)}dt=\left. \dfrac{(b-a){{t}^{2}}}{2} \right|_{0}^{b-a}-\left. \dfrac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{b-a}=\dfrac{{{(b-a)}^{3}}}{6}.$
$\text{ Ta c }\!\!\acute{\mathrm{o}}\!\!\text{ }{{(b-a)}^{2}}+{{\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{(b-a)}^{2}}\left( 1+{{(b+a)}^{2}} \right)=4\Leftrightarrow {{(b-a)}^{2}}=\dfrac{4}{1+{{(b+a)}^{2}}}\le 4.$
Suy ra $b-a\le 2\Rightarrow S=\dfrac{{{(b-a)}^{3}}}{6}\le \dfrac{{{2}^{3}}}{6}=\dfrac{4}{3}.$
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}a+b=0 \\ b-a=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}b=1 \\ a=-1\end{array} \Leftrightarrow A(-1 ; 1), B(1 ; 1)\right.\right.$.
$A B: \dfrac{x-a}{b-a}=\dfrac{y-a^2}{b^2-a^2} \Leftrightarrow \dfrac{x-a}{1}=\dfrac{y-a^2}{b+a} \Leftrightarrow y=(a+b)(x-a)+a^2 \Leftrightarrow y=(a+b) x-a b$
$S=\int_a^b\left((a+b) x-a b-x^2\right) d x=\int_a^b(x-a)(b-x) d x$
Đặt $t=x-a.$ $S=\int_{0}^{b-a}{t}(b-a-t)dt=\int_{0}^{b-a}{\left( t(b-a)-{{t}^{2}} \right)}dt=\left. \dfrac{(b-a){{t}^{2}}}{2} \right|_{0}^{b-a}-\left. \dfrac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{b-a}=\dfrac{{{(b-a)}^{3}}}{6}.$
$\text{ Ta c }\!\!\acute{\mathrm{o}}\!\!\text{ }{{(b-a)}^{2}}+{{\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{(b-a)}^{2}}\left( 1+{{(b+a)}^{2}} \right)=4\Leftrightarrow {{(b-a)}^{2}}=\dfrac{4}{1+{{(b+a)}^{2}}}\le 4.$
Suy ra $b-a\le 2\Rightarrow S=\dfrac{{{(b-a)}^{3}}}{6}\le \dfrac{{{2}^{3}}}{6}=\dfrac{4}{3}.$
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}a+b=0 \\ b-a=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}b=1 \\ a=-1\end{array} \Leftrightarrow A(-1 ; 1), B(1 ; 1)\right.\right.$.
Đáp án D.
