Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left(...

Cách 1.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 4; 4; 2 \right)$. Điểm $H$ thuộc đoạn $AB$ và không trùng với hai đầu mút nên ta giả sử $\overrightarrow{AH}=t\overrightarrow{AB}, \left( 0<t<1 \right)$
Khi đó tọa độ của điểm $H$ là $H\left( 2+4t; 1+4t; 3+2t \right)$ và $AH=tAB=6t$.
Tâm của mặt cầu là trung điểm của $AB$ có tọa độ $I\left( 4; 3; 4 \right)$, bán kính $R=IA=3$
Bán kính đường tròn đáy của nón là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{9-9{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}=6\sqrt{t-{{t}^{2}}}$
Thể tích khối nón:
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}AH=\dfrac{1}{3}\pi .36.\left( t-{{t}^{2}} \right).6t=36\pi {{t}^{2}}\left( 2-2t \right)\le 36\pi .{{\left( \dfrac{t+t+2-2t}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{32}{3}\pi $
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $t=2-2t\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3}$.
Khi đó $H\left( \dfrac{14}{3}; \dfrac{11}{3}; \dfrac{13}{3} \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $H$, nhận $\overrightarrow{AB}$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình:
$2\left( x-\dfrac{14}{3} \right)+2\left( y-\dfrac{11}{3} \right)+\left( z-\dfrac{13}{3} \right)=0\Leftrightarrow 2x+2y+z-21=0$.
Do đó: $\left\{ \begin{aligned}
& b=2 \\
& c=1 \\
& d=-21 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow b+c+d=-18.$
Cách 2.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 4;4;2 \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB\Rightarrow I\left( 4;3;4 \right).$ Bán kính mặt cầu là $R=IA=3$.
Giả sử $IH=t$. Xét điểm ${H}'$ đối xứng với $H$ qua $I$ thì mặt phẳng qua $H, {H}'$ cắt mặt cầu với đường tròn có cùng bán kính nên thể tích khối nón sẽ lớn hơn nếu $H$ nằm khác phía $A$ so với điểm $I$. Khi đó chiều cao của nón là $AH=3+t\ \left( 0<t<3 \right)$
Bán kính mặt nón là: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{9-{{t}^{2}}}$.
Thể tích khối nón là: $V=\dfrac{1}{3}\pi .{{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi \left( 9-{{t}^{2}} \right)\left( 3+t \right)=\dfrac{\pi }{3}\left( -{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+9t+27 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=-{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+9t+27,$ có
$f'\left( t \right)=-3{{t}^{2}}-6t+9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-3\quad \left( loai \right) \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
$\Rightarrow \underset{\left( 0;3 \right)}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=32$. Khi đó $IH=1\Rightarrow AH=4.$
Đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{u}\left( 2;2;1 \right)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=1+2t \\
& z=3+t \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $H\left( 2+2t;1+2t;3+t \right)$.
Mà $IH=\sqrt{{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=1\Leftrightarrow 9{{t}^{2}}-18t+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{4}{3} \\
& t=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Với $t=\dfrac{2}{3}\Rightarrow H\left( \dfrac{10}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{11}{3} \right)\Rightarrow AH=2.$.
Với $t=\dfrac{4}{3}\Rightarrow H\left( \dfrac{14}{3};\dfrac{11}{3};\dfrac{13}{3} \right)\Rightarrow AH=4.$
Khi đó, mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $H\left( \dfrac{14}{3};\dfrac{11}{3};\dfrac{13}{3} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{u}\left( 2;2;1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là
$2\left( x-\dfrac{14}{3} \right)+2\left( y-\dfrac{11}{3} \right)+\left( z-\dfrac{13}{3} \right)=0\Leftrightarrow 2x+2y+z-21=0$.
Do đó: $\left\{ \begin{aligned}
& b=2 \\
& c=1 \\
& d=-21 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow b+c+d=-18.$