Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2\...

Ta có $d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2+m+6m+3-m-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{m}^{2}}+{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( 6m+3 \right)}^{2}}}{5{{m}^{2}}+4m+2}}$.
Xét $f\left( m \right)=\dfrac{{{\left( 6m+3 \right)}^{2}}}{5{{m}^{2}}+4m+2}\Rightarrow {f}'\left( m \right)=\dfrac{\left( 6m+3 \right)\left( -6m+12 \right)}{{{\left( 5{{m}^{2}}+4m+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{-1}{2} \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $\max \ d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$ khi và chỉ khi $m=2$.
Vậy $\left( P \right):x+2y+5z-4=0$.
Gọi $d$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc $\left( P \right)$ nên $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1+2t \\
& z=3+5t \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $H=d\cap \left( P \right)$
Ta có $2+t+2+4t+15+25t-4=0\Leftrightarrow 30t=-15\Leftrightarrow t=\dfrac{-1}{2}$
$H\left( \dfrac{3}{2};0;\dfrac{1}{2} \right)$. Do đó $a+b=\dfrac{3}{2}$
Cách 2: Khi đó $M\left( x;y;z \right)$ cố định của $\left( P \right)$ thỏa $m\left( y+2z-1 \right)+x+z-2=0\quad \forall m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y+2z-1=0 \\
& x+z-2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=1-2t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.\quad \left( \Delta \right)$
$\left( P \right)$ luôn qua $\left( \Delta \right)$ cố định
$AH\le AK\Rightarrow d{{\left( A;\left( P \right) \right)}_{\max }}\Rightarrow H\equiv K$
$K\left( 2-t;1-2t;t \right)$ vì qua $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow K\left( \dfrac{3}{2};0;\dfrac{1}{2} \right)$
Suy ra $H\equiv K$ nên $H\left( \dfrac{3}{2};0;\dfrac{1}{2} \right)$