Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng...

Điểm $N\left( a;b;c \right)$ thuộc đường thẳng $\Delta $ và độ dài $MN$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $\Delta $.
Gọi mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta $ nên nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left( 2;1;-1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $2\left( x-2 \right)+1\left( y+2 \right)-1\left( z-5 \right)=0$ $\Leftrightarrow 2x+y-z+3=0$.
Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-2+t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.$
Tọa độ $N=\Delta \cap \left( P \right)$ nên suy ra $2\left( 1+2t \right)+\left( -2+t \right)-\left( -t \right)+3=0$ $\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{2}$
Tọa độ $N\left( 0;-\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2} \right)$.
Vậy $a=0; b=-\dfrac{5}{2}; c=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a+b+c=0+\left( -\dfrac{5}{2} \right)+\dfrac{1}{2}=-2$