Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2;-2;2 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=1$. Điểm M di chuyển trên mặt cầu $\left( S \right)$ đồng thời thỏa mãn $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AM}=6$. Điểm M thuộc mặt phẳng nào sau đây?
A. $2x-2y+6z-9=0.$
B. $2x+2y+6z+9=0.$
C. $2x-2y+6z+9=0.$
D. $2x-2y-6z+9=0.$
A. $2x-2y+6z-9=0.$
B. $2x+2y+6z+9=0.$
C. $2x-2y+6z+9=0.$
D. $2x-2y-6z+9=0.$
Gọi $M\left( x;y;z \right)$, khi đó ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{OM}=\left( x;y;z \right) \\
& \overrightarrow{AM}=\left( x-2;y+2;z-2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AM}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-2z=6\begin{matrix}
{} & \left( * \right) \\
\end{matrix}$.
Mà ta có: $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=-3-4z$
Nên thay vào (*) ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{OM}=\left( x;y;z \right) \\
& \overrightarrow{AM}=\left( x-2;y+2;z-2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AM}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-2z=6\begin{matrix}
{} & \left( * \right) \\
\end{matrix}$.
Mà ta có: $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=-3-4z$
Nên thay vào (*) ta có:
$-3-4z-2x+2y-2z=6\Leftrightarrow 2x-2y+6z+9=0.$
Đáp án C.
