Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 2 điểm $A\left( 1;2;3 \right),B\left( -2;1;1 \right)$ và đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $\Delta $ sao cho khoảng cách $B$ đến $d$ là lớn nhất. Phương trình đường thẳng $d$ có dạng tham số là:
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2-5t \\
& y=1+t \\
& z=1+7t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1-5t \\
& y=2+t \\
& z=3+7t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=-5+t \\
& y=1+2t \\
& z=7+3t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1+5t \\
& y=2+t \\
& z=3+7t \\
\end{aligned} \right.$.
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2-5t \\
& y=1+t \\
& z=1+7t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1-5t \\
& y=2+t \\
& z=3+7t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=-5+t \\
& y=1+2t \\
& z=7+3t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1+5t \\
& y=2+t \\
& z=3+7t \\
\end{aligned} \right.$.
Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M\left( 1;-2;0 \right)$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( -1;1;2 \right)$ có $\overrightarrow{MA}=\left( 0;4;3 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ đi qua $A$ và chứa đường thẳng $\Delta $
$\Rightarrow $ $\left( P \right)$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{MA} \right]=\left( -5;3;-4 \right)$.
Và $\left( P \right)$ có phương trình $-5.\left( x-1 \right)+3.\left( y-2 \right)-4.\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow -5x+3y-4z+11=0$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $d$, ta có: $d\left( B,d \right)=BH\le BA$.
$\Rightarrow d{{\left( B,d \right)}_{max}}=AB$ hay $d$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và vuông góc với $AB$.
$\Rightarrow $ $d$ có véc tơ chỉ phương là : $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{AB} \right]=\left( -10;2;14 \right)$.
Vậy đường thẳng $d$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-5t \\
& y=2+t \\
& z=3+7t \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow $ $\left( P \right)$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{MA} \right]=\left( -5;3;-4 \right)$.
Và $\left( P \right)$ có phương trình $-5.\left( x-1 \right)+3.\left( y-2 \right)-4.\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow -5x+3y-4z+11=0$.
$\Rightarrow d{{\left( B,d \right)}_{max}}=AB$ hay $d$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và vuông góc với $AB$.
$\Rightarrow $ $d$ có véc tơ chỉ phương là : $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{AB} \right]=\left( -10;2;14 \right)$.
Vậy đường thẳng $d$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-5t \\
& y=2+t \\
& z=3+7t \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án A.