Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho tam giác $A B C$ nhọn có $H(2 ; 2 ; 1), K\left(-\dfrac{8}{3} ; \dfrac{4}{3} ; \dfrac{8}{3}\right), O$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A, B, C$ trên các cạnh $B C, A C, A B$. Gọi $I$ là trực tâm tam giác $A B C$. Phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $A$, đi qua điểm $I$ là
A. $(S):(x+2)^2+y^2+(z-1)^2=5$.
B. $(S):(x+4)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=20$.
C. $(S):(x-2)^2+y^2+(z-1)^2=5$.
D. $(S): x^2+(y-1)^2+(z-1)^2=20$.
A. $(S):(x+2)^2+y^2+(z-1)^2=5$.
B. $(S):(x+4)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=20$.
C. $(S):(x-2)^2+y^2+(z-1)^2=5$.
D. $(S): x^2+(y-1)^2+(z-1)^2=20$.
Trong mặt phẳng $(A B C)$, ta có tứ giác $A O I K$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $A I$, do đó $\widehat{K A I}=$ $\widehat{K O I} I$ (1) (cùng chắn cung) $\widehat{K I}$.
Ta cũng có tứ giác $A C H O$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $A C$, do đó $\widehat{K A I} I=\widehat{H O I}$ (2) (cùng chắn cung) $\widehat{H C}$.
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{K O I}=\widehat{H O} I$, hay $I O$ là phân giác trong của góc $\widehat{K O H}$.
Tương tự, $H I$ là phân giác trong của góc $\widehat{K H O}$.
Như vậy, điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $O H K$.
Ta có $O H=3, O K=4, H K=5$.
Vì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $O H K$ nên $H K \cdot \overrightarrow{I O}+O K \cdot \overrightarrow{I H}+O H \cdot \overrightarrow{I K}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow 5 \overrightarrow{I O}+4 \overrightarrow{I H}+3 \overrightarrow{I K}=\overrightarrow{0} \Rightarrow I(0 ; 1 ; 1)$.
Đường thẳng $A H$ có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{I H}=(2 ; 1 ; 0)$ nên phương trình $A H$ là $\left\{\begin{array}{l}x=2 t \\ y=1+t \\ z=1\end{array}\right.$.
Vì $A \in A H$ nên $A(2 t ; 1+t ; 1) \Rightarrow \overrightarrow{O A}(2 t ; 1+t ; 1)$.
Mà $O I \perp O A$ nên $\overrightarrow{O I} \cdot \overrightarrow{O A}=0 \Leftrightarrow 0 .(2 t)+1 .(1+t)+1 \cdot 1=0 \Leftrightarrow t=-2 \Rightarrow A(-4 ;-1 ; 1)$.
Như vậy $A I=\sqrt{20}$.
Vậy, phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $A$, đi qua điểm $I$ là
$(S):(x+4)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=20$.
Ta cũng có tứ giác $A C H O$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $A C$, do đó $\widehat{K A I} I=\widehat{H O I}$ (2) (cùng chắn cung) $\widehat{H C}$.
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{K O I}=\widehat{H O} I$, hay $I O$ là phân giác trong của góc $\widehat{K O H}$.
Tương tự, $H I$ là phân giác trong của góc $\widehat{K H O}$.
Như vậy, điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $O H K$.
Ta có $O H=3, O K=4, H K=5$.
Vì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $O H K$ nên $H K \cdot \overrightarrow{I O}+O K \cdot \overrightarrow{I H}+O H \cdot \overrightarrow{I K}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow 5 \overrightarrow{I O}+4 \overrightarrow{I H}+3 \overrightarrow{I K}=\overrightarrow{0} \Rightarrow I(0 ; 1 ; 1)$.
Đường thẳng $A H$ có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{I H}=(2 ; 1 ; 0)$ nên phương trình $A H$ là $\left\{\begin{array}{l}x=2 t \\ y=1+t \\ z=1\end{array}\right.$.
Vì $A \in A H$ nên $A(2 t ; 1+t ; 1) \Rightarrow \overrightarrow{O A}(2 t ; 1+t ; 1)$.
Mà $O I \perp O A$ nên $\overrightarrow{O I} \cdot \overrightarrow{O A}=0 \Leftrightarrow 0 .(2 t)+1 .(1+t)+1 \cdot 1=0 \Leftrightarrow t=-2 \Rightarrow A(-4 ;-1 ; 1)$.
Như vậy $A I=\sqrt{20}$.
Vậy, phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $A$, đi qua điểm $I$ là
$(S):(x+4)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=20$.
Đáp án B.