Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{2}$ và điểm $A\left( 2;2;-1 \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất là $8x+ay+bz+d=0$. Tính $T=a+b+d$.
A. $5$.
B. $13$.
C. $-9$.
D. $3$.
Hạ $AH\bot \left( P \right),HK\bot d$. Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot d \\
& HK\bot d \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\bot \left( AHK \right)$.
Do khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ luôn nhỏ hơn bằng khoảng cách từ $A$ đến một điểm bất kì trên mặt phẳng nên: $AH\le AK\Rightarrow d{{\left( A,\left( P \right) \right)}_{\max }}=AK$.
Do $K\in d$ nên: $K\left( -1+t;1+t;2t \right)$ và $AK\bot d$ thì:
$\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow \left( 3-t \right)+\left( 1-t \right)+2\left( -1-2t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow K\left( -\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\left( \dfrac{8}{3};\dfrac{2}{3};-\dfrac{5}{3} \right)$. Chọn $\overrightarrow{v}=\left( 8;2;-5 \right)$ cùng phương với $\overrightarrow{AK}$.
Vậy $\left( P \right)\text{ 8}x+2y-5z+6=0$. Nên: $a=2,b=-5,d=6\Rightarrow a+b+d=3$.
A. $5$.
B. $13$.
C. $-9$.
D. $3$.
& AH\bot d \\
& HK\bot d \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\bot \left( AHK \right)$.
Do khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ luôn nhỏ hơn bằng khoảng cách từ $A$ đến một điểm bất kì trên mặt phẳng nên: $AH\le AK\Rightarrow d{{\left( A,\left( P \right) \right)}_{\max }}=AK$.
Do $K\in d$ nên: $K\left( -1+t;1+t;2t \right)$ và $AK\bot d$ thì:
$\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow \left( 3-t \right)+\left( 1-t \right)+2\left( -1-2t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow K\left( -\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\left( \dfrac{8}{3};\dfrac{2}{3};-\dfrac{5}{3} \right)$. Chọn $\overrightarrow{v}=\left( 8;2;-5 \right)$ cùng phương với $\overrightarrow{AK}$.
Vậy $\left( P \right)\text{ 8}x+2y-5z+6=0$. Nên: $a=2,b=-5,d=6\Rightarrow a+b+d=3$.
Đáp án D.
