Trong không gian $\text{Oxyz}$, cho hai điểm $M(1;-2;2)$ và...

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và cắt các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$
Nên phương trình mặt phằng $(P)$ có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ mà $M\in (P)\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{-2}{b}+\dfrac{2}{c}=1$.
Ta có $\overrightarrow{AM}=(1-a;-2;2),\overrightarrow{BM}=(1;-2-b;2)\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\overrightarrow{BC}=(0;-b;c),\overrightarrow{AC}=(-a;0;c).$
Mà M là trực tâm $\vartriangle ABC\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}=0 \\
\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{AC}=0 \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
b=-c \\
a=2c \\
\end{array} \right. \right.$
Từ (1) và (2) suy ra $a=9;b=\dfrac{-9}{2};c=\dfrac{9}{2}\Rightarrow (P):x-2y+2z-9=0$.
Ta có $A(9;0;0),B(0;\dfrac{-9}{2};0),C(0;0;\dfrac{9}{2}).$
Chiều cao của khối chóp $S.ABC$ là $h=d\left( S,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2-2\left( -1 \right)+2.3-9 \right|}{3}=\dfrac{1}{3}.$
Diện tích tam giác $ABC$ là $k=\dfrac{243}{8}.$
Thể tích khối chóp là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}k.h=\dfrac{1}{3}.\dfrac{243}{8}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{27}{8}.$.