Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right) : x+y+4z-3=0$ và điểm $A\left( 1; 1; 3 \right)$. Mặt phẳng $\left( Q \right)\parallel \left( P \right)$ và cắt các tia $Ox, Oy$ lần lượt tại các điểm $B$ và $C$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng $2\sqrt{22}$. Khoảng cách từ điểm $M\left( 2; 2; 1 \right)$ đến $\left( Q \right)$ bằng
A. $2\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{8\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
A. $2\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{8\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)\parallel \left( P \right)\Rightarrow \left( Q \right)$ có dạng: $x+y+4z+d=0 \left( d\ne -3 \right)$.
$\left( Q \right)\cap Ox=B\left( -d; 0; 0 \right), \left( Q \right)\cap Oy=C\left( 0; -d; 0 \right)$. Do $B$, $C$ lần lượt thuộc các tia $Ox, Oy\Rightarrow $ $d<0$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( -d-1; -1; -3 \right), \overrightarrow{AC}=\left( -1; -d-1; -3 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( -3d; -3d; {{d}^{2}}+2d \right)$.
${{S}_{\Delta ABC}}=2\sqrt{22}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=2\sqrt{22}\Leftrightarrow 9{{d}^{2}}+9{{d}^{2}}+{{\left( {{d}^{2}}+2d \right)}^{2}}=352\Leftrightarrow {{d}^{4}}+4{{d}^{3}}+22{{d}^{2}}-352=0 \left( * \right)$
Giải $\left( * \right)$ chỉ có $d=-4$ thỏa mãn. Khi đó ta có phương trình mặt phẳng $\left( Q \right): x+y+4z+4=0$.
Khoảng cách từ điểm $M\left( 2; 2; 1 \right)$ đến $\left( Q \right)$ bằng: $\dfrac{\left| 2+2+4.1+4 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}}=2\sqrt{2}.$.
$\left( Q \right)\cap Ox=B\left( -d; 0; 0 \right), \left( Q \right)\cap Oy=C\left( 0; -d; 0 \right)$. Do $B$, $C$ lần lượt thuộc các tia $Ox, Oy\Rightarrow $ $d<0$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( -d-1; -1; -3 \right), \overrightarrow{AC}=\left( -1; -d-1; -3 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( -3d; -3d; {{d}^{2}}+2d \right)$.
${{S}_{\Delta ABC}}=2\sqrt{22}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=2\sqrt{22}\Leftrightarrow 9{{d}^{2}}+9{{d}^{2}}+{{\left( {{d}^{2}}+2d \right)}^{2}}=352\Leftrightarrow {{d}^{4}}+4{{d}^{3}}+22{{d}^{2}}-352=0 \left( * \right)$
Giải $\left( * \right)$ chỉ có $d=-4$ thỏa mãn. Khi đó ta có phương trình mặt phẳng $\left( Q \right): x+y+4z+4=0$.
Khoảng cách từ điểm $M\left( 2; 2; 1 \right)$ đến $\left( Q \right)$ bằng: $\dfrac{\left| 2+2+4.1+4 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}}=2\sqrt{2}.$.
Đáp án A.
