Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z-1=0$, $\left( Q \right):2x-y+2z+11=0$ và các điểm $A\left( -1; 1; 1 \right)$, $B\left( 1; 2; 3 \right)$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu bất kỳ qua $A$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right), \left( Q \right)$. Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right)$. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $BI$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 5; 6 \right)$.
B. $\left( 4; 5 \right)$.
C. $\left( 6; 7 \right)$.
D. $\left( 3; 4 \right)$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ thì $I$ chạy trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song và cách đều $\left( P \right), \left( Q \right)$ nên mặt phẳng $\left( \alpha \right): 2x-y+2z+5=0$ và bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $AI={{d}_{\left( \left( \alpha \right); \left( P \right) \right)}}=\dfrac{\left| 5+1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=2$. Từ đó suy ra $I$ cũng thuộc mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ tâm $A$, $bk AI$.
Suy ra: tập hợp điểm $I$ là đường tròn $\left( C \right)=\left( \alpha \right)\cap \left( {{S}'} \right)$ có bán kính $r=\sqrt{A{{I}^{2}}-{{d}^{2}}_{\left( A; \left( \alpha \right) \right)}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$.
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $A, B$ lên $\left( \alpha \right)\Rightarrow BK={{d}_{\left( B; \left( \alpha \right) \right)}}=\dfrac{11}{3}$ và $K\left( -\dfrac{13}{9}; \dfrac{29}{9}; \dfrac{5}{9} \right)$.
Ta có: $BI=\sqrt{B{{K}^{2}}+I{{K}^{2}}}$ $\Rightarrow B{{I}_{\max }}\Leftrightarrow I{{K}_{\max }}=r+HK=r+\sqrt{A{{K}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{3}$.
Vậy $B{{I}_{\max }}=\sqrt{B{{K}^{2}}+I{{K}^{2}}}\approx 4,98\in \left( 4; 5 \right)$.
A. $\left( 5; 6 \right)$.
B. $\left( 4; 5 \right)$.
C. $\left( 6; 7 \right)$.
D. $\left( 3; 4 \right)$.
Suy ra: tập hợp điểm $I$ là đường tròn $\left( C \right)=\left( \alpha \right)\cap \left( {{S}'} \right)$ có bán kính $r=\sqrt{A{{I}^{2}}-{{d}^{2}}_{\left( A; \left( \alpha \right) \right)}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$.
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $A, B$ lên $\left( \alpha \right)\Rightarrow BK={{d}_{\left( B; \left( \alpha \right) \right)}}=\dfrac{11}{3}$ và $K\left( -\dfrac{13}{9}; \dfrac{29}{9}; \dfrac{5}{9} \right)$.
Ta có: $BI=\sqrt{B{{K}^{2}}+I{{K}^{2}}}$ $\Rightarrow B{{I}_{\max }}\Leftrightarrow I{{K}_{\max }}=r+HK=r+\sqrt{A{{K}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{3}$.
Vậy $B{{I}_{\max }}=\sqrt{B{{K}^{2}}+I{{K}^{2}}}\approx 4,98\in \left( 4; 5 \right)$.
Đáp án B.
