Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z+12=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z+5=0$. Xét hai điểm $M$, $N$ lần lượt thuộc $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;1 \right)$. Giá trị nhỏ nhất của $MN$ bằng
A. $3$.
B. $9\sqrt{3}-1$.
C. $6\sqrt{3}$.
D. $2$.
A. $3$.
B. $9\sqrt{3}-1$.
C. $6\sqrt{3}$.
D. $2$.
Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z+5=0\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$ có tâm $I\left( -1;2;1 \right)$, bán kính $R=1$.
Ta có $\text{d}\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| {{x}_{I}}-2{{y}_{I}}+2{{z}_{I}}+12 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3>R$ nên $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ không giao nhau.
Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi $MN$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $N$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Mặt khác $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;1 \right)$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;-2;2 \right)$ suy ra $\sin \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\cdot \left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$.
Khi đó $MN=\dfrac{NH}{\sin \alpha }\ge \dfrac{N{{H}_{\min }}}{\sin \alpha }=\dfrac{\text{d}\left( I,\left( P \right) \right)-1}{\sin \alpha }=\dfrac{3-1}{\dfrac{1}{3\sqrt{3}}}=6\sqrt{3}$.
Ta có $\text{d}\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| {{x}_{I}}-2{{y}_{I}}+2{{z}_{I}}+12 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3>R$ nên $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ không giao nhau.
Gọi $H$ là hình chiếu của $N$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Mặt khác $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;1 \right)$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;-2;2 \right)$ suy ra $\sin \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\cdot \left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$.
Khi đó $MN=\dfrac{NH}{\sin \alpha }\ge \dfrac{N{{H}_{\min }}}{\sin \alpha }=\dfrac{\text{d}\left( I,\left( P \right) \right)-1}{\sin \alpha }=\dfrac{3-1}{\dfrac{1}{3\sqrt{3}}}=6\sqrt{3}$.
Đáp án C.